x^3+y^3+z^3

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質問者：sakuraocha
質問日時：2008/01/03 20:58
回答数：3件

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
になるのどうしてでしょうか。

どうぞ、よろしくお願いいたします。

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「^」に関するQ&A：１４・・・０３４３です(^o_o^)

回答 (3件)

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No.2ベストアンサー

回答者： take_5
回答日時：2008/01/03 21:28

x^3+y^3+z^3＝x^3+y^3+z^3－3xyz＋3xyz＝{x^3+y^3+z^3－3xyz}＋3xyz＝(x+y+z)

(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz

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この回答へのお礼

take_5さん
ありがとうございました。

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お礼日時：2008/01/04 15:11

No.3

回答者： 0lmn0lmn0
回答日時：2008/01/04 02:33

　f(p)=(p-x)(p-y)(p-z)　と置いて展開すると、

　　　=(p^3)-(x+y+z)(p^2)+(xy+yz+zx)p-xyz　となって、

　　　　x,y,zを代入すると値は０となるので、
　　　　次の三式が成立して、

　　f(x)=(x^3)-(x+y+z)(x^2)+(xy+yz+zx)x-xyz=0
　　f(y)=(y^3)-(x+y+z)(y^2)+(xy+yz+zx)y-xyz=0
　　f(z)=(z^3)-(x+y+z)(z^2)+(xy+yz+zx)z-xyz=0

　　　　三式を加えると、

[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)]+(xy+yz+zx)[x+y+z]-3xyz=0
[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[　　(x^2)+(y^2)+(z^2)　-　(xy+yz+zx)　]-3xyz=0

　　　　となり、[(x^3)+(y^3)+(z^3)]以外を移項して、完成と。

(x^3)+(y^3)+(z^3)=(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)-(xy+yz+zx)]+3xyz

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この回答へのお礼

0lmn0lmn0さん
ありがとうございました・

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お礼日時：2008/01/04 15:11

No.1

回答者： koko_u_
回答日時：2008/01/03 21:01

右辺を展開すれば容易にわかるでしょう。

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

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お礼日時：2008/01/04 15:10

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　　　　　　　　　　　　　　X^3　=　A^3　＋　3A^2B　+　3AB^2　+　B^3
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と表す事ができる。
　　　　　　　　　　X^３　　+　　Y^3 = Z^3　を移項して　X^３　=　Z^３　-　Y^3　と表すと、右辺を
　イ）　a1^3 - a2^3　= A^3 + (±△a)
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　　　　　　　　　　　X^3　= A^3 ＋　W　＋　B^3 となる。そうすると、X^3　= Z^3 - Y^3 は
　　A^3 ＋W　+ B^3　= { A^3 + (±△a) } + { W +,- (±△a) + , (±△b) } + { B^3 + (±△b) } となる。
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(3)　W　= { W +,-(±△a) +,- (±△b) }
(4)　 A^3　キ　｛A^3　＋（±△a) } かつ　W　キ　｛W　＋、－（±△a) +,- (±△b) } かつ　B^3　キ｛ B^3 + (±△b)｝
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　　　　　(1)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　　A^3 ＋W　= { A^3 + (±△a) } + { W +,-(±△a) +,-(±△ｂ）｝を移項すると
　　　　　　　　A^3 - A^3 + W - W +,-(±△a) + (±△a) = -(±△b)
0 = -(±△b)
これより　b1^3 - b2^3 = B^3　が成り立つ事となる。これは、Xが１桁の数の時　X^3 = Z^3 -Y^3
が成り立つ事であるので表-1より（表-1は省略します。）成り立つ所が無いので、これより(1)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(1)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事がわかる。
　　　　(2)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　W + B^3 = {W＋,-(±△a) +,- (±△b) } + { B^3 + (±△b) } を移項すると
　　　　　　　W - W + B^3 -B^3 + (±△b) +,- (±△b) = (±△a)
0 = (±△a)
　　これより　a1^3 - a2^3 = A^3 が成り立つ事が分かる。ここで、A^3　（a1^3 -a2^3) の集合を考えて見ると
　　　　A^3　の集合は
　　　　　　　　　　　　　A^3 = 10^3 20^3 30^3　　　　　～　　　　　　　　　　　　90^3　　
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　　　　　　　　　　　　　20^3-10^3　
30^3-20^3 30^3-10^3　　
40^3-30^3 　40^3-20^3 　40^3-10^3　
- - - - 　　　　
- - - -
100^3-90^3 100^3-80^3 ～　　　　　　　　　　10^3
- - - -
- - - -
となる。A^3　a1^3 - a2^3 の双方に１/10 をかけるとゼロを取る事が出来るので、A/10 = As, a1/10 = a1s a2/10 = a2s と表す事とする。そうすると、As^3　= a1s^3 -a2s^3 となる。これはXが１桁の数の時、X^3 = Z^3 - Y^3 、が成り立つ事と同じであるので表-１より成り立つ所がないのでこれより
(2)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(2)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事が
わかる。
(3)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　　　　　　　　　　W = { W +,-(±△a) +,-(±△b)} を移項すると
　　　　　　　　　　　　　　　　W -　W　+（±△a) = - (±△b)
(±△a) = - (±△b)
？　？　？　？　？
　　　　　　　　　　　　　　　　？　？　？　？　？
、　　ここで泥沼にはまって動けないでいます。
(4)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　　　　　　　　　　？　？　？　？　？
　　　　　　　　　　　　　　　　？　？　？　？　？
　　　　　誰か分かる方、(3)(4)の証明方法を宜しく御教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

　「ある自然数X, Y, Zが存在して, 0＜X≦99であり、しかもX^3 = Z^3 - Y^3である」と仮定したのですね。そして矛盾を導こうというのでしょう。面白いチャレンジだと思います。

> X^3　=　A^3　＋　3A^2B　+　3AB^2　+　B^3 > Y^3 =　a2^3 ＋　3a2^2b 2 + 3a2b2^2 + b2^3
> Z^3 = a1^3 + 3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3

　つまり、
　　A=(Xの最上位の桁の数字×10、B=X-A
　　a1=(Zの最上位の桁の数字×(10^(Zの桁数-1))、b1=Z-a1
　　a2=(Yの最上位の桁の数字×(10^(Yの桁数-1))、b2=Y-a2
と定義なさった。これらを X^3 = Z^3 - Y^3 に代入すれば
　　(A+B)^3 = (a1^3 - a2^3) + (b1^3 - b2^3) + 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2)　…(1)
である。ここでさらに
　　(±△a) = a1^3 - a2^3 - A^3
　　(±△ｂ) = b1^3 - b2^3 - B^3
という記号を定義すると、（なんでこんなへんてこな記号を使うのかは問わないことにして）
　　(A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△ｂ)) + 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2)　…(2)
右辺の第3項 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2) は
　　第3項 = (a1+b1)^3 - (a2+b2)^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　　= Z^3 - Y^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　さて　X^3 = Z^3 - Y^3 だと仮定したのだから、これを使って
　　第3項 = X^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　　= (A+B)^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　　= (3A^2B + 3AB^2) - a1^3 + a2^3 + A^3 - b1^3 + b2^3 + B^3
　　= (3A^2B + 3AB^2) - (±△a) - (±△b)
なので
　　(A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△ｂ)) + (3A^2B + 3AB^2) - (±△a) - (±△b)　…(3)
さらに
　　W = 3A^2B + 3AB^2
と定義する。ここまでは結構ですね。
　(3)式をこのWを使って書くと、
　　(A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△ｂ)) + W - (±△a) - (±△b)　…(4)
である。ですから、

> ｛ A^3 ＋（±△a) } + { W +,-(±△a) + ,-（±△b) } + { B^3 + ( ±△b) } となる。

とお書きの所、"+,-"だなんて訳の分からない記号が現れる余地などありませんで、正しくはただの"-"です。従って、

> この時　X^3　= Z^3 - Y^3 が成り立つと仮定した時の成り立つ形は

と仰るけれども、「４つの形」など出て来やしません。

　ちなみに(4)式の右辺の無用な括弧をはずしてみれば
　　(A+B)^3 = A^3 + B^3 + W 　…(5)
つまり(1)式から、堂々巡りの挙げ句
　　X^3 = X^3　…(6)
という正しい式に到達したのだと分かります。ここまででは自然数独特の性質をまだ何ひとつ使っていない（X, Y, Zが実数であっても成立つような操作しかやっていない）。だからまだ何も出てこなくて当然、ってことです。

　また、（たとえば4通りの）場合分けをして証明するのなら、（何もご質問のような持って回ったやりかたをしなくたって）X,Y,Zに関する何か適当な性質P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)を決めて、
[1] P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)が共に成立つ場合。
[2] P(X,Y,Z)が成り立ちQ(X,Y,Z)が成立たない場合。
[3] P(X,Y,Z)が成り立たずQ(X,Y,Z)が成立たつ場合。
[4] P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)がどちらも成立たない場合。
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　＝　ｘ^5　＋　ｙ^5　＋　ｘ^2ｙ^3　＋　ｘ^3ｙ^2
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（ｘ^2　＋　ｙ^2）（ｘ^3　＋　ｙ^3）　＝　ｘ^5　＋　ｙ^5　＋　ｘ^2ｙ^2（ｘ　＋　ｙ）
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