
No.3
- 回答日時:
f(p)=(p-x)(p-y)(p-z) と置いて展開すると、
=(p^3)-(x+y+z)(p^2)+(xy+yz+zx)p-xyz となって、
x,y,zを代入すると値は0となるので、
次の三式が成立して、
f(x)=(x^3)-(x+y+z)(x^2)+(xy+yz+zx)x-xyz=0
f(y)=(y^3)-(x+y+z)(y^2)+(xy+yz+zx)y-xyz=0
f(z)=(z^3)-(x+y+z)(z^2)+(xy+yz+zx)z-xyz=0
三式を加えると、
[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)]+(xy+yz+zx)[x+y+z]-3xyz=0
[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[ (x^2)+(y^2)+(z^2) - (xy+yz+zx) ]-3xyz=0
となり、[(x^3)+(y^3)+(z^3)]以外を移項して、完成と。
(x^3)+(y^3)+(z^3)=(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)-(xy+yz+zx)]+3xyz
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