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(1)
巡回置換(順番に回るように入れ換える置換)
/x y z\
\y z x/
によって
(これはxをyにyをzにzをx置き換える置換のことです。)
F(x,y,z) = y^3 + z^3 + (x + y) z
という整式が得られます。(単に文字を書き換えるだけです。)
同様に残りの巡回置換
/x y z\
\z x y/
および3つの互換(2つの要素を入れ換える置換)
/x y z\
\y x z/
/x y z\
\z y x/
/x y z\
\x z y/
によって合計6つの整式が(最初のオリジナルの式も含めて)得られます。
(*)注意していただきたいこと。この質問の場合は異なる置換には異なる整式が対応して
いますが、一般にはそうとは限らないことです。例えば
F(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3
であれば3つ文字をどう入れ換えても式は変わりませんから
>x、y、zの置換を行って得られるすべての相異なる整式。
は元の式ただ1つしかありません。
また
F(x,y,z) = (x+y)z
であれば
互換
/x y z\
\y x z/
は式の値を変えないし、互換
/x y z\
\x z y/
による結果と巡回置換
/x y z\
\z x y/
による結果は同じになりますから、本質的に異なるものは3つしかありません。
(2)
>それらの和を基本対称式Si(i=0,1,...,n)の整式で表しかたをおしえてください。
ってのはどういう意味でしょう。それらの和とは上で求めた6つの式の和という意味でしょうか
また3変数なら基本対称式はxyx, x+y+z, xy + yz + xz の3種類ですがそれで表すということで
よろしいでしょうか。
上で求めた6つの式の和は
4(x^3 + y^3 + z^3)+ 2(x+y)z + 2 (y+z)x + 2 (x+z)y
= 4 [ (x^3 + y^3 + z^3) + (xy + yz + xz)]
となります。あとは
x^3 + y^3 + z^3を基本対称式で表せばOKですね。
x^3 + y^3 + z^3を基本対称式で表す方法は有名な因数分解の公式
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ( x + y + z )(x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz -xz )
を変形すれば簡単に出来るのでご自分で考えてみて下さい
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