静電エネルギー

Question

無限に長い直線上に正負の点電荷±qが間隔aをおいて
1つおきに並んでいる。点電荷1個あたりの静電エネルギーを求めよ

という問題がありました。
答えは、1個の点電荷と他の電荷の間の静電エネルギー総和を求め
電子の各対について静電エネルギーを2回重複して数えているので
その総和を2で割って答えとしています。

しかし、たとえば二つの電荷があったときに蓄えられる
静電エネルギーは、それぞれ半分ずつなのでしょうか？
さらには、電荷の絶対値が違ったときも半分ずつなのでしょうか？

どなたか教えてください。

ouwan · Accepted Answer

かなり昔習った物理を思い出しながらの話ですから、参考程度に。。。

質量による万有引力もそうですが、二つの電荷同士に働く力は、電荷の大きさが違っていても同じ大きさで、向きが逆になります。＋同士、－同士なら斥力で、＋と－なら引力です。
このため、Ａ，Ｂ二つの電荷があるとき、「Ａを固定してＢを近づける」ことと、「Ｂを固定してＡを近づける」ことは、エネルギー的に見ると同じことですよね。

＃１さんがおっしゃっている「片方が固定されている。。。その分については仕事がゼロ」という考え方もできますが、固定するためには力が必要で（力が加わっているから固定されている）相手が近づいているのか、自分が近づいていっているのかは、電荷自身にはわかりません。
Ａという電荷があるのでＢは静電エネルギーを持ち、逆にＢがあるのでＡも静電エネルギーを持ちます。Ａだけ、Ｂだけでは静電エネルギー自体ありません。

ＡとＢ二つの電荷があるとき、その２つの間に静電エネルギーが蓄えられる、としか言えないと思います。どちらか片方の、という考えはできません。このため、
> しかし、ペアーで持っているから →１個についてはそれぞれ半分
という話はおかしな話になります。

最初の「無限に長い。。。」の問題で、最後に半分にしているのは、計算上そう考える（まず全部足し合わせてから半分にする）と計算しやすいというだけであって、決して二つの電荷の間の静電エネルギーは半分ずつ、という意味ではありません。

地球上のパチンコ玉の位置エネルギーは、地球の重さとパチンコ玉の重さと距離で決まり、地球がパチンコ玉を引っ張る力も、パチンコ球が地球を引っ張る力も同じ大きさで向きが反対。
決して地球だけとかパチンコ玉だけにエネルギーがあるわけではありませんよね。それと同じことです。

ouwan · Answer

すいません、上の人が書かれている内容でした。。。

ouwan · Answer

すいません、私も詳しくありませんが。。。

ポイントは「無限に長い・・・」というところだと思います。
２つしかない電荷の場合、最初からそこにあると考えると、条件がかなりややこしくなりませんか。

考え方として、ひとつしかない電荷（電場が生じています）に、もうひとつの電荷を、無限遠から間隔ａまでゆっくりと近づけるために必要なエネルギーを考えれば良いのでは。
そのときにされた仕事がそのまま静電エネルギーとして蓄えられることになりますよね。

htms42 · Answer

＃１です。

＃１で書いたことは少しポイントがずれていたように思います。勘違いをしていました。

２つの点電荷ｑ、ｑ’があるとき
位置エネルギーはｋｑｑ’／ｒとされています。
２つの電荷のそれぞれがこれだけのエネルギーを持っているのか、１対の電荷（ｑ、ｑ’のペアー）でもっているのかということですね。

１対でこのエネルギーを持っているのであれば電荷１つあたりであれば２で割らなければいけません。
それぞれで持っているのであれば割る必要はありません。

改めて考えてみたのですが１対に対してのようです。
ここが分かりにくいです。

距離ａを隔ててｑ、ｑ’の電荷があるときこれを無限遠方に引き離すのに必要な仕事から位置エネルギーを求めることが出来ます。このときｑの電荷にもｑ’の電荷にも力を加えているます。普通は片方が固定されていると考えているようです。その分については仕事がゼロになります。でも両方が動くのであれば両方で仕事が必要です。
でもどちらでやっても同じになるようです。これが分かりにくいのです。（こういう事の説明がほとんどされていないからでしょう。）

∫ｋｑｑ’／ｒ^2（ｄｒ）をｒ＝ａからｒ＝∞まで積分します。
ｋｑｑ’／ｒが出てきます。これは片方が止まっているときです。両方を対称的に動かしたとします。両方で仕事が必要です。でも動く距離が半分で上の式に対応します。
２×∫ｋｑｑ’／ｒ^2（ｄｒ／２）で結局同じになります。

（距離ｒの所にある電荷ｑ、ｑ’のｑを固定してｑ’をｒ＋ｄｒまで移動させる仕事（ａ）とそれぞれをｄｒ／２ずつ動かして距離をｒ＋ｄｒにするときの仕事の合計（ｂ）とは同じだということです。作用・反作用の法則から両方に働く力が等しいということで言えることです。普通は片方が点電荷で考えていますからあまり意識されていないのだろうと思います。）

多分こういうことだと思います。でもちょっと自信がありません。
詳しい人がいればお願いします。

htms42 · Answer

Ａ　Ｂ　Ｃ　
の３つで考えて見ます。
答えの方法に沿って静電エネルギーの対を考えます。
Ａについて　ＡＢ，ＡＣ　（１）
Ｂについて　ＢＡ，ＢＣ　（２）
Ｃについて　ＣＡ、ＣＢ　（３）
考える電荷の対はＡＢ，ＢＣ，ＣＡの３つのはずです。
（１）（２）（３）を足して２で割ることになります。

Ａ　Ｂ
２つの場合に同じように考えると
Ａについて　ＡＢ
Ｂについて　ＢＡ
です。ＡＢとＢＡは対としては同じものですから半分にしてちょうどＡＢになります。

静電エネルギー

かなり昔習った物理を思い出しながらの話ですから、参考程度に。

すいません、上の人が書かれている内容でした。

すいません、私も詳しくありませんが。

この回答への補足

＃１です。

この回答への補足

Ａ Ｂ Ｃ

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