No.4ベストアンサー
- 回答日時:
等比数列の問題のほう、きっとまだ習ってないでしょうが「漸化式」というものを使ってとくことも可能です。
いつか漸化式を習ったときに思い出してくださいね。
第n項をa(n)とかくことにすると、
a(1)=1
a(i)=10*a(i-1)+1
と立式できる。
この式を変形するとa(i)+1/9=10(a(i)+1/9)(この式変形がツボなんです)
ここでa(i)+1/9=b(i)とおくと・・・けっこううまくできます。
この問題のおすすめ解法は、「階差数列」「漸化式」「9倍して1を足し、最後に9で割る方法」ですか。
「9倍して1を足し、最後に9で割る方法」は知ってたらできるけど、気づかなかったら・・・ねぇ。という感じがしなくもないです。
漸化式は、パターン「10倍して1を足してる」という事実が読み取れればよいので気づきやすい。
でも、なんかちょっと変わった数列だな・・・と思ったら、階差数列をとることをお薦めします。(高校の数列の問題を解く分には、という限定ですが)
(等差数列)
「3でわって2あまる数」であり、かつ「10で割り切れる数」はどんな数ですか?
と書き換えれば、とたんに小学生か中学生の問題にはやがわりします。^^
しかし式でまじめにやろうと思うと、意外や意外、「不定方程式の整数解」問題という、少し高級な問題になってしまいます。
共通の数を3a+2=10b(a,bは整数)とおいて、この方程式を解くことになります。
まず(a,b)=(6,2)は解なので、3(a-6)=10(b-2)と書けます。
ここで、左辺は3の倍数なので右辺も3の倍数、でも10は3の倍数でないから、「b-2が3の倍数である」ことがいえます.
よって、b-2=3k(kは整数)とおける。このときa-6=10k、(共通の数)=30k+20
あとはkを求めれば完璧。^^
No.3
- 回答日時:
[等差数列の(2)]
#1の方法なら、階差数列の知識を用いて解くことになります。
あるいは(1)とよく似た解法も可能で、
(ア)125, 125125, 125125125, 125125125125, ……
全項を125で割ると
(イ)1, 1001, 1001001, 1001001001, ……
さらに999倍すると
(ウ)999, 999999, 999999999, 999999999999, ……
(そして1を加えると)
(エ)1000, 1000000, 1000000000, 1000000000000, ……
すなわち
(エ)10^3, 10^6, 10^9, 10^12, ……
となり、(エ)の一般項は 10^(3n)ですね。
(エ) = (ア)÷125×999 + 1ですから、逆算して
(ア) = [(エ) - 1] ×(999/125)として求まります。
No.2
- 回答日時:
等比数列(1)は、まず 次の数列を用意します。
10、100、1000、・・・・
全ての項から1を引くと
9、99、999、・・・・
全ての項を9で割ると
1、11、111、・・・・
と出ます。一般項は自分で考えましょう。
等差数列はAの公差が3、Bの公差が10ってことは
求める等差数列って公差が30になりそうじゃないですか。
証明は、、親切な人にお任せします。
ではでは。
No.1
- 回答日時:
等比数列(2)だけですけど。
第一項と第二項の差が 125,000
第二項と第三項の差が 125,000,000
ですから
第三項と第四項の差が 125,000,000,000
となると思います。
ここで差を見ると 0 が3つずつ増えてますので
10の3n乗個の増加となるので
n>=1となるには、
125 x 10^3(n-1) となります。
こんな感じです。
間違っていたら御免なさい。
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