立方体に含まれる球の体積

立方体に内接する球を考えます。
このとき立方体と球の中心を原点とします。

球の中心が立方体の中心から
(x, y, z) = (a, b, c)移動したとき、
立方体に含まれる球の体積 V はいくらになるのでしょうか？

具体的な積分の方法が分からず、
http://ebw.eng-book.com/heishin/vfs/calculation/ …
にある「球分」の体積の公式から
V = 4πr^3 / 3 - 2πr^2 (a + b + c) / 3
となると考えたのですが、全くの誤りでしょうか？

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/02/15 13:01

a=r、b=r、c=0のとき立方体に含まれる部分は存在しますが、その計算だとV=0となってしまいますから、違うだろうと思います。

この回答への補足

Quattro99様がご指摘の通り、
全くお恥ずかしい限りですが、
「球分」の形状を正しく理解していませんでした。

「球分」から「円錐」の体積を引いた体積は
V' = 2 π h r^2 / 3 - π h { h ( 2 r - h ) }^2 / 3
　　= π h { r^2 + ( r - h )^2 } / 3
となります。

これは立方体に内接する球が x, y, z 軸の
いずれかの方向に h だけ移動したときに
はみ出る体積と一致すると思います。

これを利用して質問文にある場合の体積を求めたいです。
引き続きよろしくお願い致します。

補足日時：2008/02/15 14:57

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2008/02/15 14:24