性格悪い人が優勝

空でない集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、
1.(結合法則)任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k) を満たす。
2.(単位元の存在)μ(g, e) = μ(e, g) = g を G のどんな元 g に対しても満たすような元 e が G のなかに存在する(存在すれば一意である)。これを G の単位元という。
3.(逆元の存在)G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する(存在すれば一意である)。これを g の G における逆元といい、しばしば g^(-1) で表される。

この3つの定義(公理)が独立であることを考えたいです。
つまり、余分なものがないという意味です。
つまり、例えば、条件2.3を使って条件1が証明されるということはありえないということです。

そして、例えば、条件1が条件2.3と独立であることを言うためには、
「条件2.3を満たし、条件1を満たさないような具体例(反例)」
をあげればいいと思います。

でも、どのような具体例(反例)をあげればよいか思いつきません。

条件1、条件2、条件3がそれぞれ独立であることはどのような具体例(反例)で示されるのでしょうか?

A 回答 (4件)

1 だけ満たされる例(半群):


 G = 正整数,μ(x,y) = x+y

1,2 だけ満たされる例(モノイド):
 G = 非負整数,μ(x,y) = x+y

1,2,3 だけ満たされる例(群)
 G = 整数,μ(x,y) = x+y

2 だけ満たされる例(ループ):
 G = {e,a,b}
 μ: ae = ea = a, be = eb = b,
   aa = b, ab = b, ba = b, bb = a
 ( (ab)b = bb = a ≠ b = aa = a(bb) )

2,3 だけ満たされる例(擬群):
 G = 非負整数,μ(x,y) = |x-y|


ループだけ簡単&直感的な例が浮かびませんでした.

>>No2
普通の八元数体に逆元が存在します(普通は八元数体は実係数なので).
整数係数などにして八元数環にすれば OK です.
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この回答へのお礼

丁寧に読ませていただきました。
納得です。
ありがとうございます。

定義(公理)の独立性(?)ということについて、大学一年生で習うベクトル空間の定義の独立性ということにも関心があります。
今から新しく質問させていただきたいと思いますので、もしよろしければそちらにもお願いいたします。

お礼日時:2008/02/29 12:49

No.2です



No.3さん
>普通の八元数体に逆元が存在します(普通は八元数体は実係数なので).

うお・・・そうだ(-_-;寝ぼけてた
自分で「体」っていってるじゃん(結合則がアウトな「体」って)
ご指摘感謝.整数係数ということで.
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そもそも「半群」をご承知ですか?


二項演算が定義され,結合則だけが満たされる構造を
半群という.
半群であり,群ではない例は簡単に作れます.

例:任意の整数a,bに対してa*b=0とする
このとき,整数は*に関して半群である.
例:n次の正方行列全体の集合は通常の積で半群

#なお,逆元・単位元の存在の中に「存在すれば一意」というのは
#普通はいれません.これは定理です.

ついでに,乗法単位元が存在し,
結合則が成立せず,乗法逆元が存在しない例として有名なのは
ケーリー代数です.いわゆる八元数体
(本当は体じゃないんだけど,こう呼ばれる).

乗法単位元が存在し,結合則が成立して,
乗法逆元が存在しない例なんかは山ほどあります.

ということで,乗法逆元が存在するという仮定が
いかに強いかということを理解しましょう.
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この回答へのお礼

丁寧に読ませていただきました。
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定義(公理)の独立性(?)ということについて、大学一年生で習うベクトル空間の定義の独立性ということにも関心があります。
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お礼日時:2008/02/29 12:49

条件3は単位元の存在が前提となっているので、条件1と条件3が成立して、条件2が成立しない例というのは考えにくいですね。


そのくらいまでは考えましたか?
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この回答へのお礼

丁寧に読ませていただきました。
納得です。
ありがとうございます。

定義(公理)の独立性(?)ということについて、大学一年生で習うベクトル空間の定義の独立性ということにも関心があります。
今から新しく質問させていただきたいと思いますので、もしよろしければそちらにもお願いいたします。

お礼日時:2008/02/29 12:49

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