0の掛け算について

Question

0×0=0、0×2=0、9×0=0、0×55=0の様に0の掛け算が、こうなる事は教えられたので分かりますが、この0の掛け算という意味というか解釈がいまいち出来ません。
ある数字（0以外の数字=存在する数字）に0（無いもの）を掛ける事がどの様にしたら出来るのか気になりました。
言い換えれば、0に存在する数字をどうやって掛ける事が出来る事が出来るのですか？
いまいち納得いきません。
「無いものが3つある」とか小学校の時教わった気がしますが、無いものは、無いものだから３つあるという事は不可能な事だと思うのですが、、、ちなみに、0の足し算も存在する数字に無いものを足す事がどの様にする事が出来るのですか？（引き算、割り算も同じような感じに疑問です。）
皆さんの考えなり、納得いく方法などを教えて下さい。

ooxx · Accepted Answer

言葉だけで数学を理解しようとすると迷路に迷い込んでしまいます。
数の持つ規則性を見ることが大切です。
掛け算は足し算の便法です。足し算に置き換えて規則性を見ます。
３ｘ４＝３＋３＋３＋３＝１２
３ｘ３＝３＋３＋３　　＝　９
３ｘ２＝３＋３　　　　＝　６
３ｘ１＝３　　　　　　＝　３
３ｘ０＝　　　　　　　＝　０
乗数（掛ける数）が一つずつ減ると積（掛け算の結果）は被乗数ずつ減っていきます。
この規則性を０の場合にも適用すると理解できると思いますが。

okormazd · Answer

0は数の概念の拡張の一環として認識されてきたものです。「無いもの」といっていますが、0と「無いもの」はちがいます。0は0があるのです。だから計算ができます。「無いもの」では計算ができません。

自然数(1,2,3・・・、正の整数)の範囲で、足し算と掛け算はすべてできます。しかし、足し算の逆演算・引き算はできません。・・・,
4-1=3,4-2=2,4-3=1までできますが、4-4=　は答えがでません。自然数にないからです。それで終わりとする方法もあったと思いますが、この場合は0にしようと(昔の人が)決めて、計算できるようにしたのです。

4-5=　も自然数の範囲では答えが出ません。これを-1として計算できるようにすれば、自然数の範囲と同じように計算ができます。

0から負の数に数を拡張したのです。A×0=0 として、拡張された数でも、自然数の場合と同じように計算ができるようにしたのです。

掛け算の逆演算・割り算ができるように拡張されたのが小数（分数)です。
x^2=2　の答えがあるように拡張されたのが√2などを含む無理数です。

まだありますがこれくらいで。

数の世界の中でいろいろな計算が整合性を持ってできるようにするためには、A×0=0　としておけばいいということです。

sanori · Answer

こんばんは。

これまでのご回答を拝見するに、＃５様のご説明が最も良いように思います。

似た感覚で説明したいと思います。

３×３　＝　９
３×２　＝　６
３×１　＝　３
と来れば、
掛ける数が１つ減るごとに、掛け算の結果が３ずつ減っているので、
規則性からいって、次は、
３×０　＝　０
さらに次は、
３×（－１）　＝　－３
３×（－２）　＝　－６
３×（－３）　＝　－９
とするのが、「なんとなくよさそうだ」ということになります。

掛け算は元々は正の数同士のものだったのですが、
規則性に着目して考え方を拡張し、０やマイナスの数についての掛け算も決めると色々と便利な面が出てきます。
一例を挙げますと、
東へ時速３ｋｍで歩いている人は、
２時間後は、３×２＝６　　６ｋｍ東にいる
１時間後は、３×１＝３　　３ｋｍ東にいる
０時間後（現在）は、３×０＝０　　今の場所にいる
１時間前は、３×（－１）＝－３　　３ｋｍ西にいた
２時間前は、３×（－２）＝－６　　６ｋｍ西にいた

つまり、
理論はともかく、（規則性に着目して概念を拡張して、０の掛け算を定義すれば）「便利」なので、０の掛け算が考えられた（正しくは、「発見された」）ということです。

zk43 · Answer

あまり感覚的ではないですが、数学的に０とは、どんな数に足しても
変わらない数として定義されます。
つまり、どんな数ｘに対しても、ｘ＋ｙ＝ｘとなるような数ｙのことを
０という記号で表します。
このような性質を持つ数は１つしかありません。
もし、他にも０’という数で、どんな数ｘに対してもｘ＋０’＝ｘと
なるような性質をもつものがあるとすると、
０＋０’＝０、０’＋０＝０’で、０＋０’＝０’＋０より、０＝０’
となるからです。
また、ｘに対して、ｘ＋ｙ＝０を満たすｙのことを－ｘという記号で
表わします。
つまり、ｘ＋（－ｘ）＝０です。
この式を見ると、ｘは－ｘに対するマイナスと見られるので、
－（－ｘ）＝ｘとなります。
また掛け算と、足し算の分配法則を公理として認めると、ｘを任意の数
として、０ｘ＝（０＋０）ｘ＝０ｘ＋０ｘとなり、－０ｘを足すと、
０ｘ＋（－０ｘ）＝０ｘ＋０ｘ＋（－０ｘ）
０＝０ｘ
となります。
つまり、０をどんな数に足しても変わらない数として定義し、掛け算と
足し算の分配法則を公理として認めると、０は任意の数に掛けると０
になるということが証明されたことになります。
以上は数学的な議論です。
日常的な感覚としては、０ｘ＝０というのは、辺の長さが０とｘの長方
形の面積は０であるとか、時速ｘで０時間進むと距離０進むとか色々考
えられると思います。

jokyoju · Answer

0の掛け算を定義することにより計算が応用がしやすくなる

たとえばみかん10個入りの箱があります。
3箱では10×3＝30個

さらに2箱増えると
10×（3+2）＝10×5＝50

5箱減ると
10×（3+2-5）＝10×0＝0

このように0の掛け算を定義することにより
計算の応用できる範囲が広がります
マイナスの掛け算も同様のことだと思います。

pasocom · Answer

数学というのは、究極的にはイメージの世界です。
２次元方程式、３次元方程式までは現実的に想像がつきますが、数学では４次元以上の方程式も全く同じ土俵で扱います。
「虚数」なんてのは、その最たるものでしょう。
さて本題の「０」ですがこれを「何もない状態」と現実的に考えるから難しいのです。そう考えると「-1」というような「負数」などはとても現実的な数として考えられなくなってしまいます。
数直線をイメージして「０」は「単に１よりも１少ない数」として存在していると考えればいいのだと思います。

Lupinus2 · Answer

掛け算とは、○が△個あったら何個？という問題です。
２個入りのお菓子が２箱あったらお菓子は４個
２個入りのお菓子が１箱も無かったらお菓子は０個
数学としてではなく実生活で考えれば理解しやすいのでは？

0の掛け算について

言葉だけで数学を理解しようとすると迷路に迷い込んでしまいます。

0は数の概念の拡張の一環として認識されてきたものです。

こんばんは。

あまり感覚的ではないですが、数学的に０とは、どんな数に足しても

0の掛け算を定義することにより計算が応用がしやすくなる

数学というのは、究極的にはイメージの世界です。

掛け算とは、○が△個あったら何個？という問題です。

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