陰関数媒介変数表示の微分、媒介変数表示陰関数の微分

なにか微分可能な平面曲線があるとし、その傾きが知りたいとします。

陽関数y=f(x)の微分は、
dy/dx=f'(x)です。

媒介変数表示x=f(t)，y=g(t)　の微分は、
dy/dx={df(t)/dt}/{dg(t)/dt}です。

陰関数f(x,y)=0の微分は、
dy/dx=-{∂f(x,y)/∂x}/{∂f(x,y)/∂y}です。

陰関数の中に媒介変数があるh(x,y)=h(f(t)，g(t))=0　の微分は、どうなるのでしょうか？

媒介変数表示が陰関数になっているf(x,t)=0，g(y,t)=0　の微分は、どうなるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/03/09 10:49

#1です。

A#1の補足質問について

>h(f(t)，g(t))=0
>というのは単に「tに関する式=0」と意味していて、
>曲線を意味しないように思えてきました。

h(f(t)，g(t))=0 は　x=f(t),y=g(t)の関係を含んでいますから
tが独立した変数であれば意味がありますが、
h(f(t),g(t))=p(t)=0として
p(t)=0
となった段階でx,y座標との関係が消えて、
曲線ではなく、単なるtの方程式になります。しかし、元のh(x,y)=0,x=f(t),y=g(t)との関係が残っていて、独立変数tの変域の制約が含まれています。その変域内でp(t)=0が成立しなければなりません。
つまり、p(t)=0はtの変域内で常に成立する事になります。tの変域が全ての実数であれば、p(t)=0はtの恒等式になります。

例）x=f(t)=t/2,y=g(t)=√(1-4t^2)とすれば、
tの変域は-1/2≦t≦1/2です。
x=f(t),y=g(t)の関係式からtを消去した
t=2x,y=√(1-x^2) → x^2+y^2=1
h(x,y)=x^2+y^2-1=0
（または　h(x,y)=1-x^2-y^2でもよい。）
p(t)=f(2t,√(1-4t^2))=4t^2+(1-4t^2)-1=0
(ｔの変域に対して常にp(t)=0が成立する,つまり p(t)=0は恒等式）
ということです。
ですから、p(t)=0の式自体は曲線を表しません。

h(f(t),g(t))=h(2t,√(1-4t^2))=0の表現の中には
(x,y)座標との関係
x=f(t)=2t,y=g(t)=√(1-4t^2) (ただし,-1/2≦t≦1/2)
には、tを消去すれば　y=√(1-x^2)　（ただし,-1≦x≦1)
なる方程式で表せる関数関係を含んでいます。

p(t)=0としてしまった段階で関数関係が消滅してしまいます。


>h(f(x)，g(y))=0
>というのだったら意味あるのでしょうか?
当初の質問とは別物で意味はないですね。つまり、質問の意図とは異なる、単にx→f(x),y→g(y)という置換の意味しかありません。
闇雲にただ式を書けばいいというものではないです。

当初の質問の後半
>媒介変数表示が陰関数になっているf(x,t)=0，g(y,t)=0　の微分は、どうなるのでしょうか？

(∂f/∂x)dx/dt+(∂f/∂t)=0
(∂g/∂y)dy/dt+(∂g/∂t)=0
となりますので
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)={(∂g/∂t)/(∂f/∂t)}{(∂f/∂x)/(∂g/∂y)}
となります。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/03/09 02:10

h(x,y) = h(f(t), g(t)) = 0 の方は、どうやら、

　x = f(t), y = g(t) という媒介変数表示から
　t を消去すると h(x,y) = 0 という方程式が得られる
という状況のことを言いたいのだと思うのですが…

もし、そうならば、
（ x = f(t) かつ y = g(t) ）と h(x,y) = 0 とが同値
ということですから、
x,y を代入して h(f(t), g(t)) = 0 とするのは無意味です。
その式は、t の方程式ではなく、恒等式となります。
左辺の t は、計算すれば消えてしまうのです。

その場合、dy/dx を求めるのに
媒介変数表示から dy/dx = {df(t)/dt} / {dg(t)/dt} としても、
方程式から dy/dx = - {∂h(x,y)/∂x} / {∂h(x,y)/∂y} としても
得られる結果は同じです。

f(x,t) = 0，g(y,t) = 0 の方は、
それぞれの式を「陰関数の微分」して、得られた dx/dt, dy/dt を
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) へ代入すれば済みます。

h(f(x)，g(y)) = 0 は、
左辺の合成関数に名前をつけて
F(x,y) = 0 と書くことができますね。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/03/07 23:21

h(f(t)，g(t))=0

両辺をtで微分すると
(∂h/∂x)(dx/dt)+(∂h/∂y)(dy/dt)=0
これから
(dy/dt)/(dx/dt)=-(∂h/∂x)/(∂h/∂y)
という関係が出てきます。
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=g'(t)/f'(t)
ですが、これは
dy/dx=-(∂h/∂x)/(∂h/∂y)=g'(t)/f'(t)
という関係にもあると言うことですね。

[検証]
具体的に、h(x,y)=(x/3)^2)+(y/4)^2-1=0
x=f(t)=3cos(t),y=g(t)=4sin(t)
などとおいて確認してみてください。
上のようになることが確認できると思います。

他の例でも,合っているか、確認してみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。また、すみません。

h(f(t)，g(t))=0
というのは単に「tに関する式=0」と意味していて、曲線を意味しないように思えてきました。

h(f(x)，g(y))=0
というのだったら意味あるのでしょうか?

質問の表題も、正式な言葉ではなく、単なる僕の妄想です。

お礼日時：2008/03/07 23:47