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大学で物理学実験をしていてふと疑問にかんじた点があったため質問したいと思います。
V1 = 91.0〈V〉
V2 = 22.0〈V〉
V3 = 70〈V〉
I  = 2.16〈A〉
S  = 15.092・・ =15(有効数字2桁のため)
P  = 14.2・・  =14(有効数字2桁のため)

という測定結果がでたんです。
この結果からQをだすんですが、
(ちなみに、Q=√(Sの二乗 - Pの二乗)です)
この場合はSとして15を代入するべきか15.0を代入するべきか迷ってます。Pについても同様です。

結果はS=15、P=14をいれると、Q=5.4という結果になり、S=15.0、P=14.2を代入するとQ=4.8になります。どちらが正しいのかわかるかた答えてくれるとありがたいです。
できれば詳しい解説もよろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

有効数字の計算には、いろいろ誤解があるようですね。



有効桁を[]で囲んで表記することにします。

途中の計算では有効数字+1桁を使うので、有効数字2桁では

S=[15].1, P=[14].2
S^2=[22]8, P^2=[20]2

したがって、Q^2を計算すると桁落ちが生じて

Q^2 = S^2 - P^2 = [22]8 - [20]2 = [2]6

その平方根は(※)

Q = [5].1

最終的に有効桁だけを残せば

Q=5

です。つまり、何桁使って計算しようが、この場合にはQで信用できるのは1桁だけです。

(※)有効数字二桁と有効数字二桁の掛け算の結果は、やっぱり有効数字は2桁になることを思い出せば、有効数字2桁の数の二乗を取ればやっぱり有効数字は2桁であることがわかると思います。つまり、xとx^2の有効桁数は同じです。平方根を取るというのはこの逆、つまり、x^2→xですから、やっぱり有効桁数はおおよそ変わらないことが理解できると思います。

もう少しきちんとやるには誤差の伝播の法則を利用する必要があります。
誤差の伝播の法則に従えば、f(x)=√x=x^(1/2)とし、誤差をδを付けて表すと

(δf/f)^2 = (1/2)^2 (δx/x)^2 ∴ |δf/f| = (1/2) |δx/x|

となるので、平方根を取ると相対誤差は2分の1になりますが、多くの場合、有効桁数は変わりません。

もっときちんと計算するには、SとPの不確かさをきちんと求めておき、誤差の伝播の法則(ほんとのことを言えば標準偏差伝播の法則というべきなんでしょうけど)を使ってQの計算結果がどこまで有効かを判断する必要があります。
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#3、#5です。



#6様
ご指摘の部分、ウッカリしていました。
2乗の部分は掛け算ですから
S^2、P^2を求めるところでも桁を考えなければいけません。
#3に書いた
>ある数字を2乗してルートをかけると元に戻ります。3桁の数字を2乗すると普通6桁になります。6桁の数字にルートをかけると3桁になる事になります。最後の数字に3桁の精度が欲しければ6桁の数字が必要だということです
の部分がおかしかったということが分かります。
2乗してルートをかけると元に戻るということから早とちりしていました。
2桁を2乗して2桁、それにルートをかければ2桁ということになります。
御質問の場合は3桁を2乗して3桁、引き算で桁落ちして2桁、ルートがかかって2桁です。

Q^2=(15.1)^2-(14.2)^2=100(2.28-2.02)
=100*0.26
Q=5.1
です。
√をかけると誤差が縮小しますから5.1までいけると思います。ます。

質問文では材料となった数字が3桁(V3が問題になりますが)ですから15.1,14.2まで精度があります。2桁というのは最終結果がということだと思います。
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#3です。


SやPを計算するときにV3を使っているとすると
V3が2桁であればS、Pの3桁の精度には「?」が付きます。最後が2桁だから2桁でいいということではありません。

#3で私が書いたことと同じ内容のことを#4で補足していただきました。あわせて読んでください。
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有効数字の桁数ということはデータを処理する上で大切なことですが、桁数だけにこだわって肝心の精度を落としてしまっては困ります。


例えば、11±0.5と、99±0.5では精度がかなり違います。11については3桁までデータがあるなら3桁として始めて両者の精度が同等となります。
有効数字の桁数は無駄な計算をしないために考慮すべきですが、精度を落とさない範囲で切り捨てることが大事です。そのためには誤差伝播という観点で各データが最終結果に及ぼす影響度を事前にチェックすることが必要です。
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Q=√(S^2-P^2)に


S=15.1、P=14.2を入れるとQ=5.135
S=15.09,P=14.2を入れるとQ=5.105
です。2桁で見ると5.1で一致しています。2桁の結果を求める計算ではどちらでもいいということです。
そういう計算をしてはいけないというのではありません。桁を多くして計算しても無駄になりますよという意味です。

S=15,P=14を入れるとQ=5です。5.4という二桁の精度はありません。
頭に1の付いた2桁の数字は2桁の数字の中では一番精度の低い数字のグループです。5.4という二桁の数字の方が精度が高いということになります。計算を繰り返せば精度は下がっていきます。精度が高くなるということはありません。
同様に15.1,14.2を使った場合はこの数字よりも精度の低い数字が得られるはずです。

補足
(1)15.0としていますが15.1です。値として近い数字になるように丸めるのですから切捨てではありません。四捨五入です。
(2)V3だけ70Vと2桁になっています。どういう式で計算しているかが分かりませんがV1,V2を3桁で測ってV3だけ2桁で測るということは普通やらないと思うのですが。
(3)Sに対して15.1を使ったか15.09を使ったかでQの値が5.135から5.105に変わりました。
Sは1/1500の変化です。Qは3/500=9/1500の変化です。Qの変化の割合が10倍ほど大きいです。これは引き算が入ってきたときの桁落ちが起こっているからです。
ある数字を2乗してルートをかけると元に戻ります。3桁の数字を2乗すると普通6桁になります。6桁の数字にルートをかけると3桁になる事になります。最後の数字に3桁の精度が欲しければ6桁の数字が必要だということです。ルートの中を計算をしてもらうと分かりますが引き算で2桁少ない数字になっています。
式の中に引き算があるときは要注意です。SとPの値がもっと近ければQの値が1桁しか信頼できないということも起こります。

この回答への補足

この実験はV3を、0~100ボルトまで10ボルトずつ順番に上げていったときのv1やv2、I、S,Pの値を測る実験なので、多分2桁でいいのではないのかと思ってます。
ただ最初から少しその点は不安ではあったんですが・・・。

補足日時:2008/04/26 14:25
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>ただなぜ15.09を代入するのかがよくわかりません・・・。


15.1を代入したほうがよいかと思いましたがここは有効数字を増やしました。
>有効数字を丸めるのは計算の最後ということは15.092・・・の値を入れてもよいのでしょうか?
もちろんかまいません。あまり意味はないとおもいますが。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

最初みたときよく意味がわからず困惑していましたが、理解することができました。ありがとうございます。

お礼日時:2008/04/26 14:24

15.09を代入します。

有効数字を丸めるのは、計算の最後です。2桁になります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ただなぜ15.09を代入するのかがよくわかりません・・・。
有効数字を丸めるのは計算の最後ということは15.092・・・の値を入れてもよいのでしょうか?

お礼日時:2008/04/25 17:07

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Q有効数字と誤差率

初歩的な質問で恐縮ですが、調べても良く分かりませんでした。
次のような場合、有効数字はどのようになるのでしょうか。

例)真の値が1.50、測定値1.55(有効数字3桁)のとき、
誤差ε=1.55-1.50
  =0.05
質問1 引き算のときは、このように桁落ちが発生するので気をつけよ、とまでは書いてあるのですが、どう気をつけるのでしょうか?
有効数字は1桁になってしまったということなのか、5.00×10^2と言う風に3桁に直しておきなさいと言うことなのでしょうか?

質問2 誤差率を求める場合、
誤差率=(0.05/1.50)×100%
   =3.333・・・%
質問1の結果によりますが、この場合、何桁で書くのだ正しいですか?
有効数字1桁でしたら、3%
有効数字3桁でしたら、3.33%
の、どちらかだと思うのですが。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

質問1
有効数字が1桁になってしまったということです。
ここでは小数点以下2桁までが正しい値です。ところが誤差を計算したら小数点以下2桁目だけの数字になってます。1の位や0.1の位の値がゼロなので、結局正しい値は「5」だけとなり、有効数字が1桁です。

質問2
結果を先に言うと計算式に使った数値の中で、一番有効数字の小さいものにあわせます。なので3%です。
0.05→1桁
1.50→3桁
1.50→3桁
100→∞
なぜかというと、それぞれの有効桁の1つ下の桁で数値を少しズラして計算してみて下さい。例えば0.05を0.051にして計算してみるのです。計算結果の数字の変化を考えると有効桁数2桁目で変化してる筈です。また、1.55を1.552にして計算すると、答えの数値は有効桁数4桁目で変化してる筈です。トータルで考えると計算値は有効桁数2桁目で変動する可能性があるので、有効桁数1桁です。

Q有効数字について

最小二乗法の計算をするに当たって有効数字を考えています。もしx=5.00という値が得られたとすると、x^2を考えるとき、やはり5.00×5.00=25.0(3桁)とすべきなのでしょうか?というのも、他のx^2の値が小数点以下第2位まで得られているので、それらを足し算すると小数点以下が第1位までとなってしまうのです。
知識不足なもので恐縮ですがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

たとえば、
5.00±3% (数値では、5.00±0.15)
であるとき、
2乗すれば、誤差の割合は2倍になり、
25.0±6% (数値では、25.0±1.5)
となります。
数値で言えば、母体の数字は5倍なのに、誤差は10倍になるということです。

よって、2乗したとき、有効数字は当初と同じ3桁として構いません。
データの個数が十分であれば、3桁以上の細かい数字で最小二乗法の計算を行っても、3桁だけで計算を行っても、結果はほとんど変わりません。(同じと言ってもよいです。)

なお、最小二乗法の結果、出てきた数字については、3桁以上の有効数字で考えることができます。
たとえば、データが全部整数であっても、最小二乗法で得られた切片の値の小数点以下の数字には意味があります。

Q有効数字の計算

有効数字の計算

√2=1,414
√3=1,732
とするとき、

√2+√3また√2×√3を有効数字2桁で答える

という問題を教えてください。

Aベストアンサー

>無理数は普通より一つ多く有効数字を取るらしいのですが、意味不明です。

無理数というところから見て、これは数定数でやはり本来、単独では有効数字を考える必要がないですね。

設問の全貌が見えませんが、おそらく、こんなことではないでしょうか。

x、yが有効数字2桁の測定値であるとして、

(√2)x+(√3)x
(√2)x × (√3)y

のような計算があったときに、√2や√3は何桁まで求めて使えばよいか?

このような設問であれば、計算過程では有効数字+1桁を使いますので、
√2や√3も最低3桁が必要になります。手計算を前提として最低桁数を使うことにすれば、3桁が答えです。手計算でなければ無理して丸める必要はないですが。


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