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渦巻きって関数で表せるんですかね??

始まりの点は任意の点でいいです。気になってしまい、夜も眠れません。。誰かわかりますかね。。

A 回答 (4件)

「xy平面で、『関数』として」という条件なら、表せません。


通常、渦巻というのは何重にも巻いているものですが、
数学の関数というのは「ある値(x)に対して、別の値(y)が一意的に決まる」
というものだからです。

「関数」ではなしに、「曲線」としてなら、すでに説明があるように、
媒介変数を使うとか、方程式の解としての曲線などの形で表すことが
できます。
ただ、三角関数の逆関数が出てきますので、
多項式(各項がxのn乗の定数倍である式)にはなりません。
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例えば、


直交座標で媒介変数tを使って
  x = (e^t)*cos(t)
  y = (e^t)*sin(t)
は、原点に向かって吸い込まれるような渦巻きになります。
これは対数螺旋(等角螺旋)と呼ばれる曲線で、黄金比とも関係して自然界でもちらほら見られる興味深い曲線です。

また極座標(r,θ)で
  r=θ
は、アルキメデスの螺旋(アルキメデスの渦巻き)と呼ばれる曲線です。


また物理の分野では、ベクトル場Vに対して渦(回転)という値を考え、
  rotV = ∇×V
等で表します。
例えば真っ直ぐな導線に流した電流が作る磁界が渦巻く様は、磁場Hの渦と電流iを用いて
  rotH = i ≠ 0
と表されます。
おそらく質問者様が直接聞きたいこととは違うでしょうが、これも一応渦巻きを数式で扱う方法です。
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螺旋をキーワードに検索するといろいろな螺旋についてhitしますので。


難しい螺旋になると、高校程度の数学ではなかなか難しくて・・
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道路等でよく使うクロソイド曲線は、渦巻きというか螺旋の一種ですが、そういう話はしていない?


ちなみに学のない我々にはクロソイドは難しくて、くそロイドとか言ったりします。クロソ神さん、ごめんなさい。
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Aベストアンサー

2次元平面での渦巻きなら次の様になります。

極座標で
r=a*θ (a=0.1,θ=0~b*2π,b:整数(>>1))

あるいは

x,y座標の媒介変数表示なら
x=aθ*cos(θ), y=aθ*sin(θ)
a=0.1, θ=0~2kπ(k>>1)

なお.aは渦巻きのピッチ、bは渦巻きの巻き数の半分の値です。

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x = r*cosθ
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ご教授いただければ幸いです
よろしくお願いします

Aベストアンサー

「螺旋」には、大別して2種類あります。2次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、3次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻,ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを2次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

 spirialが等角であるということを2次元極座標(r,θ)で書けば、
dr/dθ= aθ
つまり、仰る通り
r(θ) = exp(aθ)
です。(aは巻きの強さを変える係数です。)
 これを、例えばタニシやでんでん虫やツノの形に立体化するにはどうするか。
 まずは、円筒座標(r,θ,z)を考えると便利そうです。(3次元の極座標じゃだめです。)z軸の方向が螺旋の「軸」になるわけですね。直交座標(x,y,z)に直すにはもちろん、
x = r cosθ
y = r sinθ
とすれば良い。
 さて、θを決めて断面を考える(つまりz軸を含む平面でタニシを切る)と、タニシの「身」が入ってる部分の断面がいっぱい現れますが、どれも相似形をしているでしょう。すると、タニシの「身」が入ってる部分の断面のr方向の寸法は、helixを一周したときのrの増分
r(θ+2π) - r(θ)
に比例すると考えられます。ということは、helixは一周する間に,
タニシの「身」が入ってる部分の断面のz方向の寸法のぶんだけz軸方向にずれていなくてはいけません。ですから、
z = b r(θ)
にしとけば大丈夫です。てことはz = b rですから、このhelixは円錐面の上に存在することがわかります。また、このhelixは、r,zを共に同じ倍率で大きくしたとき、元のhelixと同じである(自己相似)という性質を持っています。

 もちろん、これだけではタニシの「身」が入ってる部分の「中心線」になっているhelixを描いただけですから、この周りにカラを作ってやらなくちゃいけません。
 ここまでのr, zはhelix上の点の座標の意味でしたが、ここからはカラの表面上の点、という意味で使います。

 θ=0におけるカラの断面形状(z軸を通る平面で切った形状)を媒介変数tを使って表した平面曲線
r=f(t)
z=g(t)
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r(θ,t)= f(t)exp(aθ)
z(θ,t) = b g(t)exp(aθ)
と表せます。
 カラの断面の大きさを小さくすれば角のようになるし、大きくすればタニシになる。b=0ならアンモン貝の形です。aを小さくするとぐるぐる巻きに、大きくすると鳥の爪のように、と言う風に、いろんな形が作れますね。

「螺旋」には、大別して2種類あります。2次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、3次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻,ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを2次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

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Aベストアンサー

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます.

ちょいと数値積分をしてみました.
α=π/2  s = 2.26449
α=π   s = 6.54664
α=2π   s = 22.0094
です.円の半径を1としてあります.
半径 a なら,上の数値を a 倍して下さい.

今の螺旋はアルキメデスの螺旋とは違います.
アルキメデスの螺旋は
(2)  r = bθ
であらわされます.
LP レコードの溝がほぼアルキメデスの螺旋になっています.

他に,対数螺旋(ベルヌーイ螺旋)
(3)  r = e^(cθ)
や,双曲線螺旋
(4)  r = d/θ
があります.

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
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つり橋は放物線かと思うのですが どうでしょう?
ホームランのボールの軌跡も放物線かな?
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よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

双曲線は回転体となった双局面構造が塔やオーディトリアムの屋根などに使われています。

国内だと神戸のポートタワーがあります
また、発電所の冷却塔は双局面構造となっている場合が多いです。

世界の双局面構造建築物のリスト
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hyperboloid_structures

QAutoCADで渦巻きを描く方法

AutoCAD LTで2Dの渦巻き(左回転でだんだん半径が小さくなっている)を描くにはどうやればいいのでしょうか・・・

Aベストアンサー

以前にも同様の質問にお答えしたことがありますので、
そのときの私の回答を以下にコピーします。


いくつか方法があります。

───────────────────────────

一つ目は定規とコンパスを使って描くのと
同じ方法で作図するやりかた。

まず好みの直径の半円を描き、その端点から連続して
もっと直径の大きい半円を描き、また同じだけ直径の
大きい半円を描き・・・、と繰り返していきます。
ある半円と次の半円の半径の差を常に同じにするパターンと、
半径の差自体をだんだん等比的に大きくしていくパターンとが
あります。

───────────────────────────

二つ目はポリラインを使うやりかた。

一つ目と同じ作成手順ですが、ポリラインコマンドを
円弧入力状態にして、連続的にポイントを選択します。

スナップモードをONにしておくと簡単・正確に
ポイントを入力できます。

───────────────────────────

三つ目もポリラインを使うやりかた。

下記のような図形をポリラインで入力します。
(これもスナップモードをONにすると楽。)

   ┌──────
   │┌────┐
   ││┌──┐│
   │││┌┐││
   ││└─┘││
   │└───┘│
   └─────┘

しかるのち、ポリライン編集コマンド(PEDIT)を
使ってこの図形を選択し、曲線に変換すると、渦巻きに
なります。
曲線は2種類あるので、試してみて、好みの方を
選ぶといいでしょう。

────────────────────────────

他にも方法があると思いますが、とりあえず、こんなところで
どうでしょう。

以前にも同様の質問にお答えしたことがありますので、
そのときの私の回答を以下にコピーします。


いくつか方法があります。

───────────────────────────

一つ目は定規とコンパスを使って描くのと
同じ方法で作図するやりかた。

まず好みの直径の半円を描き、その端点から連続して
もっと直径の大きい半円を描き、また同じだけ直径の
大きい半円を描き・・・、と繰り返していきます。
ある半円と次の半円の半径の差を常に同じにするパターンと、
半径の差自体をだんだん等比的に大き...続きを読む

Q渦巻き状の蚊取り線香をちょうど半分にするには?

「KINCHO」の渦巻『かとりせんこう』を見て思い付いたのですが...

渦巻き状の蚊取り線香をちょうど半分(体積が半分)にするためには、どの地点で折ればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

tancoroです。
先ほどの続きですが、違った角度からの解放をしてみたいと思います。

蚊取り線香は、ご存知の通り線香部分、隙間部分は一定の幅を保ちながら中心に向かっています。幅を a とすると、(幅aは、線香部分の真中 ~ ひとつ内側の線香部分の真中までの長さ。)蚊取り線香は、1周あたり a だけ中心に近くなっているといえます。

よって、中心から線香までの長さRを 渦の外側から中心に向って回る角度θで表すと、
R = f(θ)
= r0 - aθ/(2π) ------(1)
但し、r0は中心から一番遠い端 ~ 中心までの長さとします。


次に、蚊取り線香の弧の長さを求めてみます。
角度0~θまでの弧を、無限個の円弧に分割し求めてみます。
L(θ) = lim[t->∞] Σ[k=1 to t] (θ/t){r0 - (a/2π)(θ/t)k}
= ∫ R・dθ
= r0θ - aθ^2/(4π) ----- (2)

(1)から中心位置の角度θを求めます。中心は R = 0なので、
r0 - aθ/(2π) = 0
θ = 2πr0/a

これを、(2)式に代入すれば蚊取り線香の全長が求まります。蚊取り線香の全長Sは、
S = πr0/a * r0 = π * r0^2 /a

(1)、(2)からθを消去すると、弧の長を L(R)で表せます。
L(R) = (r0 - R)2π{r0 - (r0 - R)/2}/a

L(R) = S/2となるようなR が求める値です。
πr0^2 /(2a) = (r0 - R)2π{r0 - (r0 - R)/2}/a
r0^2 = 4(r0 - R){r0 - (r0 - R)/2}
r0^2 = 2r0^2 + 2Rr0 - 2Rr0 -2R^2
r0^2 = 2r0^2 - 2R^2
R^2 = (1/2) * r0^2
R = r0/√2

よって、前回回答した答えと一致します。

さらに、この r0/√2 を (1)式に代入すると、
θ = 2π(r0 - r0/√2)/a
= 2π(1-1/√2)r0/a

つまり、蚊取り線香の一番外側から (1 - 1/√2)r0/a 周 のところがちょうど半長になる。
以上です。参考までに・・・

tancoroです。
先ほどの続きですが、違った角度からの解放をしてみたいと思います。

蚊取り線香は、ご存知の通り線香部分、隙間部分は一定の幅を保ちながら中心に向かっています。幅を a とすると、(幅aは、線香部分の真中 ~ ひとつ内側の線香部分の真中までの長さ。)蚊取り線香は、1周あたり a だけ中心に近くなっているといえます。

よって、中心から線香までの長さRを 渦の外側から中心に向って回る角度θで表すと、
R = f(θ)
= r0 - aθ/(2π) ------(1)
但し、r0は中心から一番遠い端 ~ 中...続きを読む

Q√は生活のどんな場面ででてくるのでしょうか。

 中学の時に学習した√(平方根)は生活のどんな場面ででてくるのでしょうか。いくら考えても身近なところで見つけられないため、なんだか中学校で√を学習することが無意味に思えてなりません。どなたか納得のいく回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。実際の身近な例では、今までご回答された方々のとおり、「コピーの拡大・縮小」だとか、カメラの「絞り」とかですね。別に知らなくても機械が勝手にやってくれるので、知らなくても困りません。しかし、原理をきちんと知っていたほうが、知らないよりマシ(良い・心が豊か・うれしい)とは思いませんか?

…あと、例えば電話して相手が話中だったりしてつながらないことがあります。仮につながる確率が0.7とするとき、コールバックして相手が自分にかけてきた場合も同じように0.7程度なので、つながる確率は50%だとか(0.7×0.7=0.49なので)。

あなたのように、疑問に思うことは充分に感心できることだと思います。周囲をみても、何とも思わない人のほうが圧倒的に多いので…。その点でみたら、疑問に思ってもらっただけでも、それを学んだ価値は充分あると思います。

なぜなら、この世の中は簡単な自然数だけで成り立っているわけでもないし、整数や分数だけで成り立っているわけでもありません。

円周率πや√2のような無理数という数が存在し、私たちはこの数を近似値として書けるだけで(3.14159や1.4142とか)、きちん正確に書くことができないわけです。仕方なく、πだとか√2という記号で表しているのです。

また、中学校では習いませんが、連続している「数直線」というものは、有理数だけでは連続ではないのです。無理数があって、はじめて「連続」になるのです。


「無意味」かどうかは勉強や学習する時点では決められないと思いますし、学ぶべきものの優先順位はありますが、勉強に意味がないものはないと思います。

中学の時点で、いろいろな世界を概観しておくことは、その後の視野の広さにつながると思います。

この点において、新課程で学習内容が大幅に削減されたり、中学で学んでいた内容を、高校の課程に持ってきたのは困ったことです。

…長々とすみません。なお、以前に似たような質問(√2について)に答えているので、参考までに挙げておきますので、ご覧ください。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=593871

こんばんは。実際の身近な例では、今までご回答された方々のとおり、「コピーの拡大・縮小」だとか、カメラの「絞り」とかですね。別に知らなくても機械が勝手にやってくれるので、知らなくても困りません。しかし、原理をきちんと知っていたほうが、知らないよりマシ(良い・心が豊か・うれしい)とは思いませんか?

…あと、例えば電話して相手が話中だったりしてつながらないことがあります。仮につながる確率が0.7とするとき、コールバックして相手が自分にかけてきた場合も同じように0.7程度なので、つなが...続きを読む


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