A 回答 (5件)
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No.4
- 回答日時:
帰納法で証明ではありませんが、計算で証明を一つ・・・
A=(a b
0 c)
と置きます。
ケーリ-・ハミルトンより
A^2-(a+c)A+acE=O
A^2-(a+c)AE+acE=O
(A-aE)(A-cE)=O
(ア)a≠bのとき
A(A-cE)-aE(A-cE)=O (半端に展開し直しただけね)
A(A-cE)=a(A-cE)
A^n (A-cE)=a^n (A-cE)
A^(n+1)-cA^n=a^n (A-cE) これを(1)と置く
A(A-aE)-cE(A-aE)=O (また半端に展開)
A^(n+1)-aA^n=c^n (A-aE) (上と同じ操作)
これを(2)と置く
(1)-(2)より
(a-c)A^n=a^n (A-cE)-c^n (A-aE)
∴ A^n=a^n (A-cE)-c^n (A-aE)/(a-c)
(イ)a=cのとき
(A-aE)^2=O
ここで
A-aE=B
と置く
A=aE+B
A^n=(aE+B)^n
=(aE)^n+nC1(aE)^(n-1)B+…+B^n
(二項定理)
=(aE)^n+nC1(aE)^(n-1)B
(∵B^2=O)
成分は書くのめんどいけん書いてないけどこうなります。ちなみに(イ)はsharp-penさんが以前質問していた2×2行列のn乗の話が、例の一つですな~。さらにちなみに、正方行列のn乗は大体ケーリー・ハミルトンで解けます。因数分解できないときは、特殊性が潜んでいることが多いです。(特に高校の数Cとか受験数学で。)特殊性ってのは、周期的になってたり、n乗がnによらないものだったりってことですよ。
No.3
- 回答日時:
与えられた行列をAとして,
┌ ┐
A^n=│a^n b[n] │
│ 0 c^n │
└ ┘
ただし
b[1]=b
n≧2のとき
b[n]=b{Σ_{k=0~n-1} a^(n-1-k)・c^k}
=b{a^(n-1)+a^(n-2)c+a^(n-3)c^2+・・・+ac^(n-2)+c^(n-1)}
=b(a^n-c^n)/(a-c) [a≠c のとき] または na^(n-1)・b [a=c のとき]
No.2
- 回答日時:
変な回答してすいません。
#1はミスですので、#2の方だけ見てください。
文章が変なところとかを直そうと思ったんですが・・・。
#1を送信する前に修正したハズなんですけどねぇ(汗
No.1
- 回答日時:
n=kで仮定した後、もとの行列を右からでも左からでも
普通に掛けてみてください。そうすると、その形は
n=k+1を代入した時と同じになり、証明できます。
推測の仕方は、試しに元の行列(Aとおきます)に
左右どちらからでもAをかけてA^2をつくり、
さらに左右どちらからでもAをかけてA^3を作れば
規則が見えてくると思いますので、もう一度落ち着いて考え直してみてはいかがでしょう?
あ、推測はできたんでしたっけ。
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