線形回帰式
y=b0+Σ[i=1~p]bi・xi
y:被説明変数 xi:説明変数 bi:係数
があり、N組のデータからbiの最尤推定量 bi~ を求めるとします。
この bi~ の有意性を検定する場合、bi~ が最尤推定量の漸近正規性から、以下の正規分布に従っているとみなします。
N(bi★,σ^2) (bi★は真のパラメータ、分散σ^2は未知)
次に以下の仮説検定を行います。
帰無仮説 H0:bi★=0
対立仮説 H1:bi★≠0
ここでは bi~ の分散が未知なので、bi~ の標本分散 s^2 を用いて
以下のt統計量により検定を行います。
t=bi~/(s/√N) ~ 自由度N-1のt分布
以上のような解説を聞いたのですが
最尤推定量 bi~ はN個のデータから1回推定を行っただけなので
標本は1個しかありませんよね?
だったら、標本分散s^2って計算できない気がするのですが…
私の理解のどこがおかしいでしょうか?
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
N(bi★,σ^2) (bi★は真のパラメータ、分散σ^2は未知)
という事は、各bi~(i=0,...,p)が平均は異なるが、分散は等しい正規分布に従うという事になりますね。
これは、一般には正しくありません。
y=b0+Σ[i=1~p]bi・xi+ei (eiは攪乱項)なる線形回帰モデルがあり、
攪乱項eiの分布が正規分布N(0,σ^2)であると仮定し、その仮定の下に最尤推定量を求めるのではないでしょうか?
表記の簡単化のために、求めるパラメータをベクトルにまとめ、
b=(b0,...,bp)'
とすると、最尤推定量の漸近的正規性から、b~は以下の分布に漸近的に従います。
b~~N(b★、E(I(b★))^(-1) )
但し、E(I(b★))は対数尤度関数のHessian行列にマイナスを付けたもの。
各bi~は、E(I(b★))^(-1)のi番目の対角成分を分散として持ちます。
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