f(t)=tを(0<t<π)で正弦級数に展開したいのですが、答え(bk)が合わず悩んでいます。答えは(2/n)*(-1)^(n-1)となっていますが、私の答えでは0になってしまいます。
まず確認したいのですが、正弦級数=bk=(2/T)∫(-T/2->T/2) f(t) sinkωt dt (ω=2π/T)という公式で合っていますか?
計算の仕方は、
(0<t<π)よりT=π-0=πでω=2、以上を上記の公式に代入。積分範囲はそのまま代入すると正しくないので0->πまでにしてしまう(これはいいのでしょうか?)あとは積分しました。普通の部分積分です。
詳しい解説希望です、よろしくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
前の質問を締め切られたので補足できませんでしたが
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4188987.html
A#1の解答の展開式は間違っていましたが
お気づきでしたか?
本質問にもどると
f(t)の波形から、平均値ao/2=π/2を差引いた波形は奇関数になりますので
偶関数項の係数は
ak=0 (for k≧1)
です。しかし、奇関数項のbnはゼロになりませんよ。
> bk=(2/T)∫(-T/2->T/2) f(t) sinkωt dt (ω=2π/T)という公式で合っていますか?
間違いです。
bk=(2/T)∫(0->T) f(t) sin(kωt) dt(ω=2π/T)
=(2/π)∫(0->π) t sin(2kt) dt(ω=2)
で計算して下さい。
その節はお世話になりました。
sin(x)^3=3*sin(x)/2 -sin(3x)/4の式ですよね、π/2を代入して検算してみると合わないので「おや」と気づきました。どうもです!
(2/π)∫(0->π) t sin(2kt) dt(ω=2)で、3回計算してみましたが、どれも-1/kという答えが出ました。答えが間違っていると言えるでしょうか・・?
実際に計算してみていただけませんか・・・!
No.2
- 回答日時:
#1です。
> どれも-1/kという答えが出ました。答えが間違っていると言えるでしょうか・・?
bn=-1/k (k≧1)
が正解です。
提示の答が間違っていますね。
f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)
となります。Σの項数を順に増やしてプロットすると
元の鋸歯状波のグラフに限りなく近づいていく事は確認済みです。
この回答への補足
f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)についてですが、
(π/2)というのはa0でしょうか?、それとbkにsin2ktは掛けなくてよいのでしょうか・・・?
確認どうも有り難うございます!
プロットすると確実ですね、自分でもやってみようと思います。
info22さんには本当にお世話になっています。
引き続き精進します、ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
A#2の補足質問の回答
> f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)についてですが、
(π/2)というのはa0でしょうか?、それとbkにsin2ktは掛けなくてよいのでしょうか・・・?
A#1で書いたはずです。
> 平均値ao/2=π/2を差引いた波形は奇関数になりますので
> ak=0 (for k≧1)
> bnはゼロになりませんよ。
そしてA#2で bk=-1/k (for k≧1)
ですから、A#2で書いたf(t)の展開式が得られます。
ao/2はf(t)の平均値です。(1/2)倍はk≧1の係数anを求める公式と同じ式に統一する為の意味しかありません。
なお、aoと書いたのはa0と書くと0がaの文字より大きくなって下付文字に見えないため、便宜的に下付のゼロを英字の小文字オー(o)で代用しているだけで他の意味はありません。
なるほど、a0=ao=πで、ao/2=π/2はf(t)=t (0<t<π)の平均値(面積的にも底辺×高さ/2=(π-0)×f(π)/2=π/2)であること。ak=0 (for k≧1) bk=-1/k (for k≧1)で総合すると、 f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)sin2kt が解であること。実際プロットしてみたところ、元のf(t)=t (0<t<π)のグラフに近づくのが確認できました!
長くなってしまいました、ここまでお付き合いいただいて本当に感謝です。
プロットすると面白いことも学びました。引き続き精進します。
どうもありがとうございました!
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