No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Rをユークリッド整域とする。
IをRの任意のイデアルとして、Iが単項イデアルであることを証明する。
I={0}であれば、これは単項イデアルである。
(定義にあてはまってることは確認するまでもないかも…)
よって、I≠{0}とする。
このとき、{N(a)|a∈I,a≠0}はNの空集合でない部分集合なので、大きさが最小となる元が存在する。
N(g)がその最小値になるようなg∈Iを1つとる。つまり、gはIの元であり
N(g)=min{N(a)|a∈I,a≠0} …☆ をみたす。
このとき、任意のgに対して、g∈Iであるから、(g)⊂Iは成り立つ。
↑単項イデアルの記号
次に、b∈Iとする。ユークリッド整域の定義より
b=qg+r,N(r)<N(g)をみたすq,r∈Rが存在する。
bとgはイデアルIに属しているから、r=b-qgもイデアルIの元である。
もし今、r≠0ならば、N(r)<N(g)に矛盾する。
( ↑ N(g)は☆より最小の元だから…)
よってr=0でなくてはならない。
よって、b=qrとなるので、b∈(g)。
bはI任意の元だったので、I⊂(g)が成り立つ。
以上より、I=(g) ((g)⊂Iであり、I⊂(g)であるから…)
よって、Iは単項イデアル。
また、整数環Zや実数上の一変数多項式環R[X]はユークリッド整域(本当にそうであるのか確かめてみてくださいね)なので単項イデアルである。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 分からない課題で困っています。 どなたか、教えてください。 変数多項式環R[x]からRに対して φ: 2 2022/07/06 11:28
- 数学 二次体K=Q(√-31)について、整数環O_Kにはノルムが3となるイデアルは存在しないことを示せ。 4 2022/12/02 22:47
- 数学 イデアルの核について 1 2023/01/15 20:15
- 数学 代数学の環の多項式環についてです 体 kについて、k係数の多項式環 k[X] は体とならないことを示 6 2023/07/09 20:29
- 数学 2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ. 8 2022/06/27 11:28
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 計算機科学 大学の宿題 1 2022/06/06 14:42
- 数学 数学の質問です。整数aのうち、 5次多項式 x^5+x+aがQ上既約かつ、可解であるようなものは存在 3 2023/01/31 20:16
- 建設業・製造業 見積作成(エクセル)について教えて下さい。 2 2023/05/10 13:47
- 数学 整数問題 20 E### 8 2023/06/02 08:24
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
全員と同じグループを経験でき...
-
2進数のバイアス表現について
-
3次元での点群に対する最小二...
-
この問題ですが、 なぜt=4/5の...
-
RAID。3重や4重やそれ以上の...
-
最小値のルートについて。
-
積分を利用した面積の最小値
-
楕円の近似
-
領域の最大・最小の問題です!
-
問題文は解答欄に載せます。 四...
-
5406を13で割ったときの絶対値...
-
高校数学、線分長の最小値
-
EXCEL ドラッグしたセル...
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
非負最小2乗法のコーディング
-
infの中にsupがあるとき
-
2次関数の問題の場合分けで理解...
-
0は正なのか負なのか、或いは...
-
2次関数の応用
-
円の最小二乗法について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
全員と同じグループを経験でき...
-
2進数のバイアス表現について
-
3次元での点群に対する最小二...
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
至急!!二次関数について aは...
-
高校数学1の問題集に、2次関数...
-
中学受験用の小5算数の問題です
-
5406を13で割ったときの絶対値...
-
x.>0ときγ(x)が最小値となるxの...
-
最大元と最大値 最小元と最小値...
-
おしどり遊び(テイトの飛び石...
-
1/x+1/y+2/z=1を満たす自然数解
-
3で割ると2余り、7で割ると4余...
-
1/x+1/y≦1/2 , 2<x,2<yのとき、...
-
次の問題を解いてください。 実...
-
整式について。
-
Xの二次関数 y=x ²ーmx+m(mは...
-
2つの放物線間の最短距離
-
間違いの理由を教えてください...
-
アルキメデスの公理について 任...
おすすめ情報