接するとは？

y=ax^2+bx+cとy=2x+1がx=1で接する

がax^2+bx+c=2x+1
ax^2+(b-2)x+c-1=0←この式は何ですか？
ax^2+(b-2)x+c-1=a(x-1)^2←何で？

回答お願いします。

No.1 回答者： popokoku 回答日時： 2008/09/29 18:19

＞がax^2+bx+c=2x+1

＞ax^2+(b-2)x+c-1=0←この式は何ですか？
＞ax^2+(b-2)x+c-1=a(x-1)^2←何で？

一行目のax^2+bx+c=2x+1の意味は分かるんですよね？
一行目の右辺を移項すると、二行目のax^2+(b-2)x+c-1=0になります。
またy=ax^2+bx+cとy=2x+1がx=1で接するということは、二行目の式がx=1で重解を持つことになるので、
ax^2+(b-2)x+c-1=a(x-1)^2=0の形に変形できます。
（ちなみに２線が交わる場合だと、a(x-1)(x-もう一つの解)）の形に変形可能です）
この説明で分かりますか？

この回答への補足

y=ax^2+bx+cとy=2x+1がx=1で接するということは、二行目の式がx=1で重解を持つことになるので、

なんでですか？

補足日時：2008/10/01 07:19

No.2 ベストアンサー 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/09/29 18:53

y=ax^2+bx+cは放物線です（a≠0の場合）。

y=2x+1は直線です。

放物線と直線との関係は、「交わらない」「2点で交わる（2点を共有する」「1点で接する（1点を共有する）」のいずれかです。

問題では「x=1で接する」とあるので、y=ax^2+bx+cとy=2x+1を連立させて解いたときに、xの解が1のみであるということです。連立させるとxについての2次式が得られますから、それを解いて解が一つしかないということは重解であるということです。

> ←この式は何ですか？
連立させてyを消去した式であるax^2+bx+c=2x+1の右辺を左辺に移項してxについて整理しただけです。

> ax^2+(b-2)x+c-1=a(x-1)^2←何で？
上で説明したように、連立させて得られたxについての2次式がx=1という重解を持つため、ax^2+(b-2)x+c-1=0はa(x-1)^2=0であるはずだということです。

2次方程式ax^2+(b-2)x+c-1=0は解をα、βとすれば、a(x-α)(x-β)=0と変形できますが、重解を持つということはα=βということなので、a(x-α)^2=0と変形できます。