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cosx/sinx (=1/tanx) の積分がわからないです。
答えは(sinx)^2になるらしいのですが、どう計算したらいいのかわかりませんでした。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

時間が経ったので,もう,用済みかも知れませんが,


まだ締め切られていないので,書き込んでおきます.
求める答えは

  ∫cosx/sinx dx  ・ ・ ・ ・ ・(1)

ですね.まず,

  w = sinx  ・ ・ ・ ・ ・(2)

とおきます.(2)式を微分すると,(dw/dx) = cosx なので,

  dw = cosx dx ・ ・ ・ ・ ・(3)

が得らます.(1)式は,変形すると,

  ∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx  ・ ・ ・ ・ ・(4)

と書けるので,この(4)式は(2)式と(3)式を用いて,

  ∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx = ∫(dw)/w   ・ ・ ・(5)

となります.(5)式の ∫(dw)/w は ∫(1/w)dw のことなので,

∫(1/w)dw = ln(w) + C

です. ln(w) は w の自然対数で,C は積分定数です.
したがって,(2)式により,w = sinx なので,求める答えは,

  ∫cosx/sinx dx = ln(sinx) + C

です.質問にある「答えは(sinx)^2」は (sinx)^2 を x で微分すると

((sinx)^2)' = 2 sinx cosx

となるので,∫cosx/sinx dx の答えではありません.
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この回答へのお礼

確かにそうですね
高校数学をすっかり忘れてました^^;

お礼日時:2008/10/14 00:00

答えは(sinx)^2になるらしい・・・? cosx/sinx (=1/tanx) の積分


他の人から聞いた・・・?のですか・・・?

∫cosx/sinx dx は sinx=tなどと置けば cosxdx=dtとなって
∫dt/t  ・・・にできる。

今一度、教科書を読み直した方が宜しいかと・・・。
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sinx = tと置いて、置換積分します。


dt/dx = t' = cos xなので、
cosx/sinx = t' / tの形です。

> 答えは(sinx)^2になるらしいのですが、

微分しても、cosx/sinxに戻らない気がします。
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