相対位相について教えて下さい!!!!!!!!!

(X,O)を位相空間、A⊂X、O|AをAの相対位相、X=R,Oを１次元ユークリッド位相、A=[0,1]とする。
部分位相空間(A,O|A)で、Aの部分集合B=(1/2,1]の内部と閉包を求めよ。

という問題なのですが・・・。相対位相がイマイチ分かりません(。。；)
BもAの相対位相になるんじゃないんですか・・・？
分かる方お願いしますｍ(＿＿)ｍ

No.1 回答者： old_sho 回答日時： 2008/12/13 11:06

その通りでしょう。

BはAにおいて開集合と見れると言う事でしょう。

要は、Rに於ては、Bは、開でも閉でもないのに、Aという部分空間では開集合になると言う点で、『相対』位相と言う表現になるのではないですか。

No.2 回答者： sokamone 回答日時： 2008/12/13 13:59

二つの問題が混在しています。

失礼を承知でお尋ねします。

１．あなたは相対位相の定義を知らない？
２．あなたは相対位相の定義を知っているが内部、閉包の定義を知らない？

この問題は相対位相と、内部、閉包の定義を知っていることが前提です。

■位相空間(X,O)があるとき、Xの部分集合Aの相対位相O|Aとは、
Aの部分集合の族であり、(O|A)の任意の要素Uに対して、必ずOの要素Vが存在して、
U=V∩Aと書けるときをいう。

■位相空間(A、O|A)において、Bの内部とは、
Bの内点のみから成る集合のことである。
Aの点aが、Bの内点であるというのは、
点aを含むAの開集合UでBに含まれるものが存在することをいう。

■位相空間(A、O|A)において、Bの閉包とは、
Bの触点のみから成る集合のことである。
Aの点aが、Bの触点であるというのは、
点aを含むAの開集合がかならずBと共通部分をもつことをいう。

これが定義です。下記(1)(2)がこれらの条件をみたすことを示しましょう。

(1) Bの内部(1/2, 1]
(2) Bの閉包[1/2, 1]