3次方程式の3重解の問題

こんにちは。
以前から考えても分からない問題があるので質問させて頂きます。

方程式 x^3-(4m+1)x^2+2(m+3)x+2(m-3)=0 が相異なる3つの正の解を持つために、定数mが満たすべき必要十分条件は何か。

解 1<m<7/6, 7/6<m<3

3重解とα,β,γとして
α+β+γ=4m+1, αβ+βγ+γα=2(m+3), αβγ=-2(m-3)
上の3式を立ててもうまくいきません。
3式>0 としても解のような範囲まで絞り込むことができず、
また、未知数を消去しようとしても煩雑になってしまって、むしろ消去してどうするのかが思いつきません。
仮に α=β=γ としてもどう進めていけば分からないです。

色々試してはみたのですが、この場をお借りして質問させて頂きます。
どなたか分かる方、是非ご教示ください。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/12/16 01:32

x^3-(4m+1)x^2+2(m+3)x+2(m-3)=0

(x-1)(x^2-4mx+2(3-m))=0
と因数分解できるので、異なる３つの正の解を持つための必要十分条件は
(A)g(x)=x^2-4mx+2(3-m)=0 が異なる正の解を持ち、
かつ、
(B)そのいずれもがx=1と一致しないこと
である。

(B)から
g(1)=1-4m-2m+6=7-6m≠0 ∴m≠7/6
(A)から解と係数の関係から
解の和　4m>0, 解の積　-2m+6>0
∴0<m<3
Ans.0<m<7/6,7/6<m<3

ポイント）因数定理を使って因数分解できないはチェックすることを忘れないこと。それにより解けるか、解けないかの分岐点になる。

この回答へのお礼

おはようございます。

丁寧な解説ありがとうございます。
因数分解は忘れてました・・・初歩的なことなので注意したいと思います。

回答は締め切らせて頂きましたが、皆様ありがとうございます。
どなたの回答もとても参考になり自分の抜けているところに気づきました。
本当にありがとうございます。

お礼日時：2008/12/16 08:34

No.5 回答者： i7010_man 回答日時： 2008/12/16 06:04

NO,4について

　解と係数の関係は実数解の個数まで決められないので、条件に
(c)　実数解を２つもつから、
　判別式＞0　より　ｍ＜－2/3,1＜m　を加えれば
答えが合うと思います。　勝手に補足して申し訳ありません。

この回答へのお礼

おはようございます。

分かりやすい解説とても参考になりました。
解に関する条件、すっかり忘れていました。

高校数学に立ち返って基礎力をつけたいと思います。
ありがとうございます。

お礼日時：2008/12/16 08:39

No.3 回答者： i7010_man 回答日時： 2008/12/16 00:35

解に限定がされている場合、方程式として解くより関数として解く方が簡単な気がします。

その場合は、
　初めにコメントされている方のようにまず因数分解して、(x－1)の後の部分をf(x)などに置いて、
f(x)＝｛x^2-4mx-2(m-3)｝の２次関数がx軸の正の部分で２点で交わる条件を考えます。
1、f(0)＞0
2、軸＞0　←今回はなくてもできる
3、頂点のy座標＜0　　さらに因数分解した式から　
4、x≠1　　　　　　
　覚えてなければ、数1の教科書(2次関数の最後あたり)を見直した方が良いと思います。
　関数と考えすに判別式を使ってもできます。　

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/12/16 00:15

>3重解とα,β,γとして

>..
>仮に α=β=γ としてもどう進めていけば分からないです。

相異なる解を持つ条件を求めたいのではないのですか？

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2008/12/16 00:00

計算してませんが、

x^3-(4m+1)x^2+2(m+3)x+2(m-3)=(x-1){x^2-4mx-2(m-3)}=0として、
x^2-4mx-2(m-3)=0が２つの正の解を持つ条件を探すのがいいかと