連成振子

～～はバネ定数がすべてｋのばね、○は左から順に質量m1,m2,m3の質点としてください。

下図の時、この振子の振動をx軸方向の一次元運動とし、3つの質点の座標をx1,x2,x3として解きたいのですが、まず3つの質点の運動方程式をたてなければならないことは分かっているのですが、バネが多すぎてどのようになるのかよく分かりません。一体どうなるのでしょうか？

　壁―～～―○―～～―○―～～―○―～～―壁

No.7 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2003/02/02 06:32

ｘ”（ｔ）＝Ａ・ｘ（ｔ）と直接解いたほうが簡単ですが

システマチックでなく発展性がなく運に左右される解きかたなので
コンピュータ計算に向いているｙ’（ｔ）＝Ｃ・ｙ（ｔ）によって解きましょう
というより
ｙ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ｃ・ｔ）・ｙ（０）という風に既に解けているのですね
ｅｘｐ（Ｃ・ｔ）を簡単に表現するかどうかは好みの問題と言い張ることができる
何しろ２次のベクトル微分方程式を１次ベクトル微分方程式にするやり方は普遍てきなのだから
ｘ”（ｔ）＝Ａ・ｘ（ｔ）だとＡをいちいち対角かしないと行けないが
ｙ’（ｔ）＝Ｃ・ｙ（ｔ）はもうすでに解けているのだからほうっておいても言いのです
子の回答を持っていって文句を言う先生を論破してください

この回答へのお礼

nubouさんの回答を参考に友達と考えた結果、
ようやく理解することができました。
多くの御回答ほんとうにありがとうございました。

お礼日時：2003/02/06 16:18

No.6 回答者： nubou 回答日時： 2003/02/02 01:29

正方行列が湯に足り行列によって対角かされるための必要十分条件はその正方行列が正規行列であることである

という低利があります
Ｃ＝
［０　Ｅ］
［Ａ　０］
でありＡは対象行列だから
Ｃ・Ｃ＾Ｔ＝Ｃ＾Ｔ・Ｃ＝
［Ｅ　０］
［０　Ａ＾２］
でありＡは正規行列になります
従ってＣは対角行列に相似なのです
これはさすがに猿にも人間にも難しいジョルダンの標準形を持ち出さなくても子の問題を解けるということを意味します

No.5 回答者： nubou 回答日時： 2003/02/02 01:07

私の質問の回答は

Ａ＝
［－２　０　０］
［１　－２　１］
［０　１　－２］
でなく
Ａ＝
［－２　１　０］
［１　－２　１］
［０　１　－２］
です
書いた後間違いに気がついたので理解を確認するために宿題にさせてもらいました
さてジョルダンの標準形ですがＣの子誘致がすべて異なればＣは対角行列に相似です
またたとえＣの固有多項式が多重根を持っていてもＣが独立な固有ベクトルを６つ持てばＣは対角行列に相似です
任意の行列は対角行列に相似だとは限らないがジョルダンの標準形には相似です

No.4 回答者： nubou 回答日時： 2003/01/31 22:03

忙しかったプログラミングも一服したので暇つぶしを兼ねて出血サービスしちゃいましょう

ｘ１（ｔ）を左の失点の右への変異とし
ｘ２（ｔ）を中の失点の右への変異とし
ｘ３（ｔ）を右の失点の右への変異とし
ｘ（ｔ）＝［ｘ１（ｔ），ｘ２（ｔ），ｘ３（ｔ）］＾Ｔとし
ｍ１／ｋ＝αとし
ｍ２／ｋ＝βとし
ｍ３／ｋ＝γとし
Ｐ＝
［α　０　０］
［０　β　０］
［０　０　γ］
Ａ＝
［－２　０　０］
［１　－２　１］
［０　１　－２］
とし
Ｂ＝ Ｐ＾（－１）・Ａとすれば
ｘ（ｔ）''＝Ｂ・ｘ（ｔ）
さらに
ｙ（ｔ）＝［ｘ（ｔ）＾Ｔ，ｘ１（ｔ）’，ｘ２（ｔ）’，ｘ３（ｔ）’］＾Ｔ
とし
Ｅを３次正方行列とし
Ｃ＝
［０　Ｅ］
［Ｂ　０］
とすれば
ｙ（ｔ）’＝Ｃ・ｙ（ｔ）
解いて
ｙ（ｔ）＝ｅｘｐ（Ｃ・ｔ）・ｙ（０）
Ｊを適当な６次ジョルダンの標準形行列とし
Ｑを適当な６次正則行列として
Ｊ＝Ｑ＾（－１）・Ｃ・Ｑであるならば
ｙ（ｔ）＝Ｑ・ｅｘｐ（Ｊ・ｔ）・Ｑ＾（－１）・ｙ（０）
となる
ｅｘｐ（Ｊ・ｔ）はきわめて簡単になるので後は猿でもできます

さて記述に間違いがあります
補足に書いてください

この回答への補足

実は解答の指針というのが決められていて、

１．3つの質点の運動方程式を立てる
２．運動方程式に現れる係数の作る対称行列を対角化する直交行列を求める。そのために行列の固有値を求め、対応する規格化した固有ベクトルから直交行列を作る。
３．対角化されて求まった基準座標の従う運動方程式を書き下し、各振動の方程式から一般解を求める。

というものです。
2.3．がこの問題の難しい部分なのでしょうが、肝心の運動方程式を立てるところが・・・さっぱりなんです。

せっかく回答いただいたのに、『ジョルダンの標準形』というものを習っていないものでよく分からないのです。本当にスイマセン。

補足日時：2003/02/01 22:47

No.3 回答者： nubou 回答日時： 2003/01/31 01:56

失礼しました

ちょん簿です

ｘ１（ｔ）を左の失点の右への変異とし
ｘ２（ｔ）を中の失点の右への変異とし
ｘ３（ｔ）を右の失点の右への変異とし
ｘ（ｔ）＝［ｘ１（ｔ），ｘ２（ｔ），ｘ３（ｔ）］＾Ｔとし
ｍ１／ｋ＝αとし
ｍ２／ｋ＝βとし
ｍ３／ｋ＝γとし
Ｐ＝
［α　０　０］
［０　β　０］
［０　０　γ］
Ａ＝
［－２　０　０］
［１　－２　１］
［０　１　－２］
とすれば
ｘ（ｔ）''＝Ｐ＾（－１）・Ａ・ｘ（ｔ）
なので
Ｐ＾（－１）・Ａを対角化またはジョルダンの標準形に変換すればすぐにもとまりますね

No.2 回答者： nubou 回答日時： 2003/01/31 01:34

ｘ１（ｔ）を左の失点の右への変異とし

ｘ２（ｔ）を中の失点の右への変異とし
ｘ３（ｔ）を右の失点の右への変異とし
ｘ（ｔ）＝［ｘ１（ｔ），ｘ２（ｔ），ｘ３（ｔ）］＾Ｔとし
ｍ１／ｋ＝αとし
ｍ２／ｋ＝βとし
ｍ３／ｋ＝γとし
Ｐ＝
［α　０　０］
［０　β　０］
［０　０　γ］
Ａ＝
［－２　０　０］
［１　－２　１］
［０　１　－２］
とすれば
ｘ（ｔ）’＝Ｐ＾（－１）・Ａ・ｘ（ｔ）
なので
Ｐ＾（－１）・Ａを対角化またはジョルダンの標準形に変換すればすぐにもとまりますね

No.1 回答者： phbs 回答日時： 2003/01/31 00:41

解析力学を知っているなら3つの質点の平衡状態からのずれをu_1、u_2、u_3とでもしてラグランジアンLを書いてオイラー・ラグランジュ方程式から運動方程式を求めるのが間違いないかと。

（ポテンシャルを　Uとすれば
U=1/2 k u_1^2+1/2 k (u_2-u_1)^2+1/2 k (u^3-u_2)^2+1/2 k u_3^2）

運動方程式を書いたらそれを行列の形で書いて線形代数の処方箋に従って行列を
対角化すれば解けます。