三角関数の最大値を求める問題

長軸の長さがa、短軸の長さがbで中心の座標が(m, n)の楕円周上の点のうち、
原点までの長さが最大となる点Pを求めよという問題で、
楕円周上の点Pを(x, y)=(acos@+m, bsin@+n)と置いたとき、
原点までの距離Lはsqrt((acos@+m)^2+(bsin@+n)^2)となるので、
L^2が最大となる@を求めればよいと思って、展開してsinにそろえると、
L^2=(a^2)(cos@)^2+2amcos@+m^2+(b^2)(sin@)^2+2bnsin@+n^2
=(a^2)(1-(sin@)^2)+2amcos@+m^2+(b^2)(sin@)^2+2bnsin@+n^2
=(b^2-a^2)(sin@)^2+2bnsin@+2amcos@+a^2+m^2+n^2
=(b^2-a^2)(sin@)^2+2sqrt((bn)^2+(am)^2)sin(@+arctan(am/bn))+a^2+m^2+n^2
となり、関数の中に位相の異なるsinが出てきてしまって2次方程式として最大値を求めることができません。
@の範囲は、楕円を考えているので0≦@＜2πになるかと思います。
(sin@)^2を次数下げした場合はcos2@が出てきてしまい、三角関数の合成をcosで行っても、
角速度と位相の異なるcosの式になってしまうので、同様に解けません。
どなたか解法をご教授いただけませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/09 18:59

ラグランジュの未定乗数法を使う

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0% …

あるいは、円x^2+y^2=k^2と接する時（２つあるが）、接点が点Ｐとなるので、それを求めて（判別式を使って）みる


計算がめんどそうなので確かめてませんが

この回答へのお礼

判別式は4次式の判別式になってしまうみたいで、
この問題は高校数学の範囲で簡単には解けないんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/09 22:20