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0≦α≦π/2,0≦β≦π/2でsinα+cosβ=5/4,cosα+sinβ=5/4のとき、sin(α+β)、tan(α+β)の値を求めよ。
という問題で、sin(α+β)は9/16で求められたんですけど、
tan(α+β)が求まりません。
sin(α+β)をcos(α+β)でわって求めるのかなあと思ったのですが
cos(α+β)がでません。。。
sinα+cosβ=5/4
cosα+sinβ=5/4
を連立させて整理し、
sinα-sinβ=cosα-cosβ
この両辺を二乗して整理すると
cosαcosβ-sinαsinβ=(cos^2α+cos^2β-sin^2α-sin^2β)/2
公式よりcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
なのでここから求められるかと思ったんですけどここで手詰まりです。。
どなたか回答お願いします<(_ _)>
No.6
- 回答日時:
>いずれにしても 計算は煩い。
煩くなかった。w
0≦α≦π/2より、sinα+cosα=5/4 の両辺が正から2乗しても同値。
実際に計算すると、sin(2α)=9/16. {sin(2α)}^2+{cos(2α)}^2=1から、cos(2α)=±(5√7)/16.
tan(2α)=sin(2α)/cos(2α)。 これで終わり。
No.3
- 回答日時:
十分性は十分ですか?
sinα + cosβ = 5/4, cosα + sinβ = 5/4 から β を消去して、
(5/4 - sinα)^2 + (5/4 - cosα)^2 = 1。 これを展開整理して、
sinα + cosα = 5/4。 三角関数を合成して、cos(α - π/4) = (5/8)√2。
cosθ = (5/8)√2, 0 ≦ θ ≦ π/2 と置くと、
(5/8)√2 > (1/2)√2 = cos(π/4) より、θ < π/4。
以上より、α = π/4 ± θ が、α の取りえる値である。
β についても、全く同様に、β = π/4 ± θ。
ここまでは必要条件であるが、
sinα + cosβ = 5/4, cosα + sinβ = 5/4 に戻って
十分性を検証すると、α, β の4つの組み合わせの内、
(α, β) = (π/4 + θ, π/4 + θ), (π/4 - θ, π/4 - θ)
のみが解であることが判る。
tan(α+β) = tan(π/2 ± 2θ) = ±tan(2θ)。
これにより、± とも解であることが確認できた。
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
No.1様の
sin^2(α+β) + cos^2(α+β) = 1
のつづきですが、
9^2/16^2 + cos^2(α+β) = 1
cos(α+β) = ±√(1 - 9^2/16^2)
sin を cos で割れば tan なので、
tan(α+β) = ±9/16 ÷ √(1 - 9^2/16^2)
= ±9 ÷ √(16^2 - 9^2)
ここで、0≦α≦π/2, 0≦β≦π/2 なので、
θ = α+β と置けば、
0 ≦ θ ≦ π
の範囲での、
tanθ = ±9 ÷ √(16^2 - 9^2)
を求めることになります。
0 ≦ θ ≦ π
の範囲では、sinθはゼロ以上であり、cosθは、-1~1 の値があります。
ですから、sin を cos で割ったものは、プラスとマイナスの2通りがあります。(細かいことを言えば、ゼロもありますけど)
つまり、
tan(α+β) の値は2つあります。 (←これを言いたかったので、ここまで書きました)
以上、ご参考になりましたら。
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