計算の順番を変えると解答の不一致が発生した

a×b÷c＝（a×b）÷c　…１番
　　　 ＝（a÷c）×b　…２番
　　　 ＝a×（b÷c）　…３番
※（　）→先に計算する箇所として表現しています

数学的には、上記の1、2、3番は同等だと信じているのですが、
とある数でやると答えが合いません。↓


10×9÷12＝（10×9）÷12＝7.5　…１番
10×9÷12＝（10÷12）×9＝7.499999999～　…2番
10×9÷12＝10×（9÷12）＝7.5　…3番

なぜでしょうか？
これを発見した経緯は、
「10000円の利息（1年分）を９ヶ月分払う」という計算問題を解いてみたときの違和感からでした。

1年で10000円の利息なので、まずは12で割って、1ヶ月分の利息を出し（その時点で割り切れず）、さらにそれを９ヶ月分にするため９をかけるという順番で計算しました。それが2番です。

2番で筋は合ってると思うのですが、なぜ1番や3番の答えとズレるのでしょうか？

ついでにいうと、問題文が「10000円の利息（1年分）を1ヶ月分払う」となった場合には…ということも考えられ、やはり2番の解き方でいいはずなのですが、今度は１番、３番ともに解答が合うんですよね？（でも割り切れない数字になります）

誰かこの原因を教えてください。
私のやり方・考え方のどこが間違っているんでしょうか？

No.12 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/24 03:07

蛇足な追記。

＞なので、普通、１回目で足りなくなる４円を多く払わされ、833＋4で、837円払わされます。

現実の支払いでは「ボーナス月」とかが設定され、そこで何時もより多く支払いさせられ、その月で調整されてたりします。

No.11 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/24 03:04

ANo.8、9は、何か勘違いしてますね。

＞3つのものを一人じめして2倍するのと
＞1つのものを3人で分けて2倍するのって、
＞どう考えたってフェアじゃないでしょ。

これは「１÷３と、３÷１は違う」と言っているだけで「四則演算では、交換可能なのは加算と乗算のみで、減算と除算では交換できない」と言う規則を言っているに過ぎません。

＝（a÷c）×b　…２番
の式と
＝（c÷a）×b　…非２番
の式は違う、と言っているだけで、そりゃ違って当たり前。

＞1.2.3番の式は同じではありません。
同じです。論点がズレて明後日の方向に行ってしまってます。

No.10 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/24 02:53

＞1年で10000円の利息なので、まずは12で割って、1ヶ月分の利息を出し（その時点で割り切れず）、さらにそれを９ヶ月分にするため９をかけるという順番で計算しました。

それが2番です。

数学的な話は他の回答で出尽くしてるので、違う方向から。

1年で払う利子がトータル10000だと、月々の利息は833円。

ここで、割り切れない小数点以下は切り捨てます。１円未満は払えないですから。

で、このままだと１年で払う利子が833×12＝9996で、4円足りません。

なので、普通、１回目で足りなくなる４円を多く払わされ、833＋4で、837円払わされます。

２回目以降は833円払わされます。

９回払うと837＋833×８で、7501円払う事になります。

借金の利息の場合「１円未満はどっかで帳尻を合わせる」ので、１番の式も２番の式も３番の式も関係ありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
実生活においては、このように処理されているのですね。
数学とは違った意味で参考になりました。

お礼日時：2009/01/24 14:54

No.9 回答者： spring3552 回答日時： 2009/01/24 01:10

Ｎｏ．8の回答者です。

以下訂正します。

だって、
3つのものを一人じめして2倍するのと
1つのものを3人で分けて2倍するのって、
どう考えたってフェアじゃないでしょ。

No.8 回答者： spring3552 回答日時： 2009/01/24 01:05

1.2.3番の式は同じではありません。

計算の順番を変えても同じ答えになる式を「結合法則を満たす」といいますが、これには決まりがあります。
四則演算（加減乗除）の場合、（この加減乗除のことを演算子といいます）
○優先順位
　「＋」＝「－」
　「×」＝「÷」
　「＋」、「－」　＞　「×」、「÷」
○結合法則の条件
　・優先順位が高い演算子から計算する
　・減除は結合法則は成り立たない。

だって、
3つのものを2人で分けるのと、
1つのものを3人で分けて2倍するのって、
どう考えたってフェアじゃないでしょ。

この回答への補足

＞1.2.3番の式は同じではありません。
→そんなことはありません。同じです。

また、四則演算の優先順位や結合法則の条件も満たしております。
回答頂いたのに申し訳ないのですが、論点がズレています。

ちなみに、優先順位は、
「＋」、「－」　＞　「×」、「÷」
ではなく、逆だと思いますよ。

補足日時：2009/01/24 14:45

No.7 回答者： info22 回答日時： 2009/01/24 01:04

>とある数でやると答えが合いません。

↓
合わないのではなく、あなたの計算のルールがおかしいからでしょう。

あなたの計算の論法を矛盾無く行うには、
「割り切れない計算は最後に行う」というルールを設けないといけませんね。
また
「小数にする計算は他の計算が終わってから行う」というルールも設けた方がいいかもしれません。

10×9÷12＝（10÷12）×9＝(5÷6)×9
5÷6は割り切れないので計算を後にするルールを適用し、他の計算の優先する
と
＝(5×9)÷6＝5×(9÷6)＝5×(3÷2)=(5×3)÷2＝15÷2=7.5

この回答への補足

ご指摘ありがたいのですが、私が聞きたかったのは、
数学的真理とでもいうのか、つまりは、こうなってしまう原理の方です。
「こうならないための方法論」ではありません。

私の計算ルールに誤りはありません。
数学的にみて計算のルールに誤りが無いのになぜ？というところの不思議を問うていたのです。

7.5が出したいのではなく、7.4999999～の理由をお聞きしたかっただけなのであしからず。

補足日時：2009/01/24 14:31

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2009/01/24 00:50

こんばんは。

電卓を使っているんですよね？

１
１０×９＝９０
　→　９０÷１２＝７．５

３
９÷１２＝０．７５
　→　１０×０．７５＝７．５

２
１０÷１２＝０．８３３３３３３　　　　←ここで、０．０００００００３３３３３３３３・・・が切り捨てられてしまいます。
　→　０．８３３３３３３　×　９　＝　７．４９９９９９７


今回のように、あまり大きくない数字の計算の場合は、
割り算をなるべく後回しにすると、正確な値が出やすいです。
整数同士の計算で半端が出るという現象が起こるのは、割り算だけですからね。
また、筆算の場合は、分数の掛け算・割り算として計算して、約分もして、最後に出てきた答えで、
分子　÷　分母　＝　答え
という計算をするのがよいでしょう。



以上、ご参考になりましたら幸いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分の解き方自体に間違いはないということを踏まえた上で、
今後の対策としてよいアドバイスになりました。

お礼日時：2009/01/24 14:30

No.5 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/01/24 00:46

2番は分数を使えば

(10 ÷ 12) × 9
= (5/6) × 9
= 15/2
= 7.5

となります。

ちなみに、『0.999… = 1である』という話があります。
これは1/9 = 0.111…という等式の両辺に9をかけることによって導けます。
今回の話もこれと同じで、ANo.1の方がおっしゃっているように、
7.4999…は7.5と全く同じ数です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

この回答へのお礼

参考にします。ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/24 14:59

No.4 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/24 00:44

いわゆる循環小数ですね

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考にします。

お礼日時：2009/01/24 14:58

No.3 回答者： piro19820122 回答日時： 2009/01/24 00:41

それは答えが違うのではなく、表現が異なるだけです。

0.33… と 1/3 は同じ数字を表すように、
0.99… と 1 は同じ数字を表します。

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました。

お礼日時：2009/01/24 14:25