三次元空間においた図形の方程式

三次元における図形の方程式の表し方が分かりません。

・n次元の図形の方程式は『等号』が(n-1)個で表現される。
という文章も目にしましたがその理由も分からず。。。

例えば，三次元における円の方程式として，『円の中心座標，O1(x0,y0,z0)』と『円周上の三点，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，P3(x3,y3,z3)』がそれぞれ得られた場合，どのような方法でどのような方程式が求められますか？

一つ考えた方法としまして，三点を通る球と平面をそれぞれ求め，それらの連立を解いてみましたが，それだけだと確実に変数が一つ無くなってしまいます。
上記の『三次元は等号が二つ』という事が関係してくるのでしょうか。。。

三次元空間に対しての知識が不足していますので，出来れば『具体的な式』や，さらには『具体的な係数など』まで頂けると非常に助かります。
お願い致します。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/01/30 01:16

原点を中心とする半径Rの三次元の球面の方程式なら

x^2+y^2+z^2=R^2 (R>0)
定点(xo,yo,zo)を中心とし半径Rの球の方程式なら
(x-xo)^2+(y-yo)^2+(z-zo)^2=R^2 (R>0)

原点を通る平面の方程式なら
ax+by+cz=0
定点(xo,yo,zo)を通る平面の方程式は
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0
または
ax+by+cz=d, d=axo+byo+czo
ここで、(a,b,c)は平面に垂直な方向ベクトル

直線を含む曲線は、2つの曲面（平面を含む）の交線として定義できる。
つまり曲線を表すには、曲面を表す方程式が２つ必要。

定点(xo,yo,zo)を通る直線の方程式
(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c
これは平面の式が２つと同じです。
等号は２つ。

原点を中心としXY座標軸を含む平面内の、半径Rの円の方程式なら
x^2+y^2=R^2 (円筒の方程式)
z=0（平面の方程式）
の2つの式で表現できる（交線が円になる）。
方程式が２つなので等号は２つ。

傾いた円なら
円の中心座標(xo,yo,zo)、半径をR(>0)とすると、
(x-xo)^2+(y-yo)^2+(z-zo)^2=R^2 (球面の方程式)
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo=0 (円の中心を通る平面の方程式）
の2つの式で表現できる（交線が円になる）。
円の面に垂直な方向ベクトルが(a,b,c)となるように傾いた円です。
方程式が２つなので等号が２つ。

など。例を挙げたらきりが無いのでこの位にします。

この回答へのお礼

多くの具体例を頂き，感謝申し上げます。

>2つの式で表現できる
とありますが，その2つが同時に成り立つという事で，2つの式を1つの式にまとめてしまうと，円柱の式になってしまいますが，そのまとめる方法は何か理論的に間違っているのでしょうか？

式が複数存在すると，その後の処理がイメージ出来なくて。。。
例えば，求めた円が，ある軸を中心に回転運動した時の軌跡の方程式や，
求めた円が，ある図形と交わっている時の連立方程式などを求める時に複数の式があるとどうなるのでしょうか？

質問が広がりすみません。

お礼日時：2009/01/30 03:02

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/01/30 11:04

#1です。

A#1の補足質問の解答

>その2つが同時に成り立つという事で，2つの式を1つの式にまとめてしまうと，円柱の式になってしまいますが，そのまとめる方法は何か理論的に間違っているのでしょうか？
「同時に成り立つ」まとめ方が書いてないですから、理論的に間違っていると断定は出来ません。しかし、結果が間違っているなら、質問者さんのまとめ方が間違っているでしょう。
まとめ方は「AND（かつ）」でまとめないといけません。
おそらく、質問者さんは、代入したり、「OR（または）」でまとめたりしていませんか？
たとえば、
x^2+y^2+z^2=1とx+y+z=3をまとめることは不可能です。
なぜなら、2つの曲面（球面と平面）が交差しないからです。交差しない２つの曲面の式はいかなる方法をとってもまとめられません。

では、交差のある曲面の２つの式がある場合
x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=2
これからzを消去してまとめるといったことは
まとめたことにはなりません。
z=2-x-y,x^2+y^2+(2-x-y)^2=1
（２つの式が同時に成り立ってもとの2式と等価）
としてもやはり2つの式（曲面）が交差する交線ということには変わりなくまとめたことになりません。これを質問者さんはやられたのではないでしょうか？

式を「左辺＝０」と変形して,左辺同士かける方法は「OR」なのでまとめたことにはなりません。
x^2+y^2+z^2-1=0,x+y+z-2=0
(x^2+y^2+z^2-1)(x+y+z-2)=0
↑これはどちらか一方だけ成り立てばいいという式ですので2つの式と等価ではありません。

まとめるには「AND」の関係でまとめないといけません。
つまり、A^2+B^2=0の関係ならA=0かつB=0と等価になります。このまとめ方なら、まとめても2つの式と等価です。
つまりまとめた式は
(x^2+y^2+z^2-1)^2+(x+y+z-2)^2=0
となります。これは元の２つの式と等価です。

一般に
2つの曲面f(x,y,z)=0とg(x,y,z)=0の2つの式をまとめると
{f(x,y,z)}^2+{g(x,y,z)}^2=0
となります。
ただし、曲面が交差することが前提条件です。

3つの式
f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0
が共通の共有点を持つときは
この3つの式を等価の関係を保ってまとめると
{f(x,y,z)}^2+{g(x,y,z)}^2+{h(x,y,z)}^2=0
となります。

この回答へのお礼

まとめる方法にそのような種類があったんですね。

『ANDの関係』について調べてみます。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2009/02/03 18:11