定積分の問題（２）

[1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。
∬D √(a＾２-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦ax}

半径＝aの球を考える。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝a＾２であり。
ｚ＝√(a^2-x^2-y^2)となり、被積分関数は上半球となる。

一方、積分領域は
D={(x,y);x^2+y^2≦x}
＝{(x,y);（ｘ－a/2）^2+y^2≦（a/2）＾２}
となり。
中心点（a/2、０）で半径a/2の低円の円柱が切り取る
体積をもとめることになります。

・積分領域「-π/２、０」の場合

ｒ＝acosθ
ｘ＝ｒcosθ
ｙ＝ｒsinθ

ヤコビヤン｜J|＝ｒとなります。
つまり
dxdyーーー＞ｒｄθdｒ・・・・・（３）

V=∫[-π/2、０]∫[0,acosθ]（ r）√(a^２-r^2) dr dθ
＝∫[-π/2、０]dθ 「（-１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,acosθ]
＝a^3/3∫[-π/2、０]（1-sinθ＾３）dθ
＝a^3/3[（θ+cosθ-（１/3）cosθ＾３）[θ＝-π/2、０]
＝（a^3/３）（π/2+２/3）・・・・・（４）

となり、正解
（a^3/３）（π/2ー２/3）になりません。
どこが間違いでしょうか

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/02/04 20:04

同じ質問を繰り返し投稿されますが

被積分関数の積分変数θが定積分範囲[-π/2,0]の
-π/2≦θ≦0
の変域をとっているといった、積分の基本的なことを
理解して見えないことが、駄目なんでしょうね。
-π/2≦θ≦0の範囲では |sinθ|=-sinθ≧0ゆえ
|sinθ|^3=|sinθ|*(sinθ)^2
=-sinθ*(sinθ)^2
=-(sinθ)^3　（≧0)
1-|sinθ|^3 =1+(sinθ)^3
となります。

>＝∫[-π/2、０]dθ 「（-１/3）｛（a^2－r^2)＾３/2｝」 [ｒ＝0,acosθ]
>＝a^3/3∫[-π/2、０]（1-sinθ＾３）dθ
この所で間違っています。

積分区間内では　-π/2≦θ≦0なのでsinθ≦0であることから
(1-(cosθ)^2)^(1/2)　←（≧0）
={(sinθ)^2}^(1/2)　←（≧0）
=|sinθ| 　←（≧0）
=-sinθ　 　←（≧0）
となります。
あなたの積分では
=sinθ　←(≦0)
としてしまっています（誤り）。
このことの理解が出来ていないため、正しく積分できないのでしょう。

この回答への補足

コメントありがとうございます。
やっとわかったような気がします。

積分区間内では　-π/2≦θ≦0なのでsinθ≦0であることから
(1-(cosθ)^2)^(1/2)　←（≧0）
={(sinθ)^2}^(1/2)　←（≧0）
=|sinθ| 　←（≧0）
=-sinθ　 　←（≧0）
となります。

第四象限であることから
(-sinθ)^2+(cosθ)^2=1の公式を使うことでもあるようです。

やれやれです。

補足日時：2009/02/04 20:26