２次曲線の交点、一般の２元連立２次方程式の行列を使った解法？

一般の２元連立２次方程式の解法（2つの2次曲線の交点）を考えています。ベズーの定理より解は4個あると思います。

a*x^2+2h*xy+b*y^2+2l*x+2m*y+c=0
A*x^2+2H*xy+B*y^2+2L*x+2M*y+C=0

一つのアイデアは、一方を標準形にした後、他方へ代入し、x(もしくはy)の4次方程式を作ることだと思います。

2次曲線を行列を使って書いたとき、2つを連立した
(X^t)(A)(X)=0
(X^t)(B)(X)=0
という形のベクトルX^t=(x,y,1)に関する連立方程式を解くという方法はあるのでしょうか？

また、極座標を使った解法やパラメーターを使った解法などはあるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2009/03/20 02:46

　ご参考になるかどうかは分かりませんが。

　一度4次方程式にしておいてから反転(極座標で(r,θ)と表される点を(1/r,θ)に写す写像）を使うことで、円と2次曲線との交点を求める問題に系統的に帰着できます。
　4次方程式を
F(x^4)+D(x^3)+(2F+A+E)(x^2)+(B+D)x+(E+F)=0
と表したとします（これは常に可能）。さらに
y=1
として、
F(x^4)+D(x^3)+(2F(y^2)+A+Ey)(x^2)+(By+D(y^2))x+(E(y^3)+F(y^4))=0
と書き直しましょう。で、(x,y)を直交座標だと思って反転すると
y=1の反転は
X^2+Y^2-Y=0
すなわち(0,1/2)を中心とする半径1/2の円
X^2+(Y-1/2)^2=1/4
になります。
一方、4次方程式の方は反転すると2次曲線
A(X^2)+BXY+C(Y^2)+DX+EY+F=0
になります。これと上記の円との交点(X,Y)がもし分かれば、それを反転したもの(x,1)が元の4次方程式の解に他なりません。
　原点を(0,1/2)にずらしてからこの2次曲線を極座標表現にすれば、角度θだけの式(ただし三角関数だらけ）が出る。大抵の場合は却って難しくなるだけの気がしますけど。

　逆に言えば、もしご質問の問題を簡単に解く手順が作れるのであれば、4次方程式にも簡単な手順があるということになる訳です。

この回答へのお礼

事後ですがありがとうございました。

ペンシルを使って、3次方程式＋2次方程式に帰着させる方法があるそうです。
http://www.mlab.im.dendai.ac.jp/~saitoh/CADCAM/0 …

お礼日時：2012/05/24 23:26