x^4+y^2=x^2という曲線があります。レムニスケートのような蝶ネクタイ型です。
最大は(±1/√2,1/2) 最小は(±1/√2,-1/2)です。
この曲線をy軸周りに回転させてできる体積を求める問題があるのですが・・・
バームクーヘンのように円筒をあつめる方法がありますよね?
例が悪いかな?式でいうと ∫2πxy dx っていう感じなのですが。
この問題はこの方法で解くことできますか?答えが一緒にならないのです。
もうひとつの普通のやり方でいくと
x^2={1±(√1-4y^2)}/2 +のほうをX -のほうをχとあらわすと
[-1/2,1/2]で(5)=2π∫(X-χ)dy・・・・・答え π^2/4
ってやっていくほうはわかっていますので。
どうぞよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ごめんなさい。
”最大は…最小は…です”をみて、積分区間と思ってしまいました。それと確かに2倍です。まず、図形の対称性を利用して、第一象現の部分を回転して得られる立体の体積の2倍が求める体積になります。
次に、この部分の図形の方程式は、Yが0以上であることより、{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2) です。これを ∫2πxy dx に当てはめればよいのです。もちろん積分区間は、0から1です。
この積分では、
X^2-1/2=(1/2)SINθ (-π/2≦θ≦π/2) (1) と置換します。
積分区間は、 0≦x≦1から、-π/2≦θ≦π/2 に変わります。
(1)の両辺をθで微分します。すると、
2xdx/dθ=(1/2)cosθ が得られます。
ここで、
xdx (2) と変形しておきます。
次に、 {1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2) に(1)を代入すると、
|(1/2)cosθ |
-π/2≦θ≦π/2 より絶対値をはずすと、
{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)=(1/2)cosθ
これらのことより求める体積は、
V=2∫2πxydx 積分区間は、 0≦x≦1
=2∫2πx{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)dx
=2∫2π{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2)xdx 最後のxdxのところに(2)を代入
=2∫2π(1/2)cosθ(1/4)cosθdθ
=(1/2)π∫(cosθ)^2dθ 積分区間は、-π/2≦θ≦π/2
(cosθ)^2 は、偶関数なので
=π∫(cosθ)^2dθ 積分区間は、0≦θ≦π/2
この後は半角の公式を用いて計算すれば、今度こそOKのはず。
細かいところまで詳細に説明・解説していただき本当にありがとうございました。
おかげで少しレベルアップできました☆
ところで、最後の半角の公式ではなくて倍角の公式かな?
No.1
- 回答日時:
まず、図形の対称性を利用して、第一象現の部分を回転して得られる立体の体積の4倍が求める体積になります。
次に、この部分の図形の方程式は、Yが0以上であることより、{1/4-(X^2-1/2)^2}^(1/2) です。これを ∫2πxy dx に当てはめればよいのです。もちろん積分区間は、0から1/√2です。
この積分では、X^2-1/2=(1/2)SINθ と置換すれば、積分区間 -π/2から0となって、全体の体積はπ^2/4 となります。
どうもありがとうございます。
積分区間は[0 ,1/√2]?
この式はy=0となるのはx=0、±1のときですが、積分区間は[0,1]ではないのでしょうか。
あと体積は4倍ではなくて2倍ではないでしょうか?
もうひとつ追加で、 X^2-1/2=(1/2)SINθからdx/dθはどうやって求めるのですか?
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