割り算の余りは・・・

割り算の余りを求める問題
　「xは整数とする。
　　(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余りを求めよ」
一体何を計算すれば良いのかさっぱり分かりません。因数分解も試みたのですがまるっきり駄目でした。
誰かこの問題を解くカギを教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/03/26 23:40

まず剰余定理を使う方法でいくと, x^3+x^2+x+1 で割った余りはたかだか 2次なので

(x^2+x+1)^1234 = (x^3+x^2+x+1)P(x) + ax^2+bx+c
とおく. で, x^3+x^2+x+1 = (x+1)(x^2+1) なのでこの式に x=-1, i, -i を代入して連立方程式に持ち込む.
ひねった方だと, x^2+x+1 = (x^3+x^2+x+1) - x^3 だから
(x^2+x+1)^1234 = [(x^3+x^2+x+1) - x^3]^1234
となり, 右辺を 2項定理でばらすと (-x^3)^1234 の項以外は x^3+x^2+x+1 を因数に持つので
(x^3+x^2+x+1)P(x) + (-x^3)^1234
となる. あとは #2 でも言われるように x^4 を x^3+x^2+x+1 で割ると 1 が余るのでこれを使えば OK. 要は, 「10 ≡ 3 (mod 7) だから 10^1234 ≡ 3^1234 (mod 7)」 と同じことです.

この回答へのお礼

おお！やっと分かりました。
そこでmod x^3+x^2+x+1で、
(-x^3)^1234≡(x^4)^925・x^2≡x^2
ですね。

お礼日時：2009/03/27 22:15

No.6 回答者： seahorse57 回答日時： 2009/03/27 21:26

「xは整数とする」とあるから整数の割り算についての話なのでしょうか。

それにしては
x=-1
を代入すると「0で割った余り」なるものが登場して変になる気が……

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/03/27 01:45

←No.4

馬鹿を言ってはいけない。

A No.3 の割り算は多項式環の除算だから、
x に代入できる値は整数に限定されない。
代入は、あれで良いのだ。

難点は、多項式の除算で進めた話を、最後に
整数の除算の話に引き戻すときに、
P(x) の各係数が整数であることを、どうやって
保証するか？という点だ。

それは証明可能なのだが、
初等的範囲で説明するのは、かなり煩瑣だから、
答案としては、どうか。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/03/27 00:29

＞なのでこの式に x=-1, i, -i を代入して連立方程式に持ち込む.

持ち込めるわけがない。
問題文に“xは整数とする”と書いてある。それとも、虚数＝整数なんだろうか、冗談だよな。ｗ

No.2 回答者： owata-www 回答日時： 2009/03/26 19:43

＃１さんとは違うやり方で

(x^2+x+1)^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1＝(x+1)(x^3+x^2+x+1)+x^2
を使うと

「(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」と「(x^2)^617 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」が等しい
となります

あとは
(x-1)(x^3+x^2+x+1)＝x^4-1
→x^4＝(x-1)(x^3+x^2+x+1)+1
を使えば解けるかと

ちなみに私も＃１さんと同じ答えになりました


まあ、もっと簡単な方法もあるかもしれませんが

この回答へのお礼

ありがとうございます。
x^4を使って何とか証明することができました。

お礼日時：2009/03/26 21:48

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/03/26 16:31

普通は剰余定理を使うんだろうけど, 今の場合に関しては

「(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」と「(-x^3)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」が等しい
ことを使った方が楽. 答えは x^2 かな?

この回答への補足

すみません・・・当たり前なのかもしれませんが

> 「(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」と「(-x^3)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」が等しい

→何故なんですか？理由がどうしても分かりません(汗)
　理由を教えてください！あと答えがx^2になるというのも分かりません・・・。お願いします。

補足日時：2009/03/26 19:20