９と１０の間にある数

Question

ふと中、高生だったころ数学で感じた疑問を思い出しました。
９と１０の間には無数の数があるか？無限の数があるか？
という問いに「無限」と答えたのですが、×で、無数だと言われました。
無数だけど有限で、無限ではないと。

なんででしょうか。

arrysthmia · Accepted Answer

＞ たまたまカウントしなかっただけで
＞ 存在している数は、無限にあるように思うのです。

その先生が、言いかけて説明し切れなかった
「無数」と「無限」の違いは、その「カウント」にあった
のではないか？ と、勝手に想像しています。

いくらがんばってカウントしてみても、９と１０の間に
無限に在る有理数のうち、カウントできるのは有限個だけ
です。ただし、この「有限」には上限が無くて、
どんなに大きい有限個であっても良い。この状況を
「任意有限個」と言ったりもします。
その先生の「無数」の意図は、普通に言えば任意有限個
のつもりだったのではないかと。

でも、任意有限個なのはカウントされた数の個数だけで、
９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。
単に、無限個全部はカウントできない… という話。

これに対して、カウントできないものを存在すると認めて
よいのか？ と疑問視する人たちがいて、その一派は、
無限は「任意有限」の意味でだけ存在する… と考えてしまう
のです。この意味での「無限」を「可能無限」と呼びます。
数学で普通に扱う、実際に存在する無限「実無限」とは
違うものです。

数学というより、哲学の領域ですが。

参考URL：http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=2147831

arrysthmia · Answer

＞　＞９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。
＞　そうですよね。そう思うんですが。

それは、貴方が「実無限」の立場をとっている ということです。
私も、その立場です。 数学者の大多数も、そうじゃないかな？
しかし、世間には、自分の目で見たものしか信じない という
偏屈な連中がいて、「可能無限」の立場をとっているのです。

彼らは、例えば、実数は無数に存在するが、実際に存在が示せるのは
実数の一部でしかなく、無限の実数全ての存在を明示できる訳ではないので、
「実数全体の集合」などは存在しない とか言っているのです。

参考URL：http://apm.musabi.ac.jp/~ryoji/rev1998/1123.html

noname#101087 · Answer

>「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例になってます。

肝心なことを書き忘れ。
x(y) が異なれば、y(x) も異なる、ということ。
「一対一」の大事な条件でした。

noname#101087 · Answer

>..... 「∈」の意味がわかりません。....

表示を簡略化しすぎて、意味不明になりましたかね。あまり難しく考えないでください。

x∈[9, 10) は、9 から10 までの間のある実数 x (x=10 は除外)です。
その範囲で一つの x を指定したとき、y = (x-9)/(10-x) により一つの y がきまります。x=10 のとき、y は無限大。
x∈[9, 10) なら、y は 0 から無限大の間のある実数です。
逆に、0 から無限大の間のある実数 y を指定すると、x∈[9, 10) の x が一つきまるはず。

これは、「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例になってます。
つまり、0 から無限大の間のある実数が無限個数なら、9 と 10 の間にある実数も無限個数なのです。

noname#101087 · Answer

>３と６の間の数も 0 と無限の間の数と対応付けできたりして、すると、９と１０の間と、３と６の間の数は同個数ということになるのでしょうか。
>・・・そうかも。....

「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例。
　　y = (x-9)/(10-x)　　　x∈[9, 10) で連続

Ichitsubo · Answer

結局言葉の問題なだけのような気がしてなりません。
shironnさんがこだわっている「無限の個数(無限個の数)」の数がある、というところ、「無限の個数」というのはつまり「無数」という言葉で置き換えられますよね。
もしくは、9と10の間に「無限『に』数がある」と言い換えることもできるでしょう。しかし「無限『の』数がある」と言うと、先ほどからでている、個数のことを示すのか、数値の大きさのことなのか不明瞭な文になります。

arrysthmia · Answer

無数？ 無限？ とんでもない！
９と１０の間には、１個の整数も存在しません。(笑

９と１０の間の有理数　または　９と１０の間の実数
を数えているのならば、有限個でないことは確実です。

「無数」と「無限」を区別するのならば、数学用語として
あまり普通ではない「無数」を、どう定義したか？ が問題
でしょうね。

No.1 のような意味で「無数」と言うのであれば、
９と１０の間に実数が「無数にある」では数学的に間違いで、
「無限にある」のほうが正解です。

９と１０の間にある実数なら、大きさは「無限」でない
…という議論は、文脈が破綻していると言うか、その解釈では、
もとの問題が日本語として成立しませんし。

やりようによっては、「無数」と「無限」を
「可算無限」と「非可算無限」や
「可能無限」と「実無限」に　対応させるような議論も
できないではありませんが、その手の話を
背景知識の不足した中高生相手にやらかすのは、無謀としか
言いようがありません。
まして、○だの　×だの　付けるのは、ちょっと…

plm2009qaz · Answer

変な先生ですね　^ ^;

> 無数だけど有限で、無限ではないと。
「９と１０の間には(有限ではあるが)無数の数があるか？　無限の数があるか？」という設問でないと捻くれた生徒になるような気がします(笑)

有限と無限を問う問題なら、有限と無限という単語を出さない設問は単なる引っ掛け問題で受験用問題であって学問ではないと思います。

Tacosan · Answer

極端にいえば「『無限』は数じゃないので『無限の数』はどこにも存在しない」ということはできるだろう.
ただねぇ.... 何人かが指摘してるけど, やっぱり問題としてよくない. 上に書いたように「無限」は数じゃないので, 「無限の数」という表現は曖昧なんです. つまり, 「『無限』を表す数」 (そんなもの存在しないけど) という解釈はできるけど, (これが存在しないという前提のもとに) 「無限個の数」という解釈もやっぱり可能です. 「5 の数」などという表現は普通しないので, こっちの解釈も有力です.

noname#101087 · Answer

>９と１０の間には無数の数があるか？無限の数があるか？....

「無数の数」や「無限の数」(個数 = 実数の濃度？)とは何か、それぞれ定義があるのでしょうかね。
少なくとも、「無数」の定義は無さそうですけど。
9 と 10 の間の数(実数)は、たとえば 0 と無限の間の数と対応付けできるので、「無限」といえるんじゃないでしょうか。

９と１０の間にある数

＞ たまたまカウントしなかっただけで

＞ ＞９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。

>「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例になってます。

>..... 「∈」の意味がわかりません。

>３と６の間の数も 0 と無限の間の数と対応付けできたりして、すると、９と１０の間と、３と６の間の数は同個数ということになるのでしょうか。

この回答への補足

結局言葉の問題なだけのような気がしてなりません。

無数？ 無限？ とんでもない！

変な先生ですね ^ ^;

極端にいえば「『無限』は数じゃないので『無限の数』はどこにも存在しない」ということはできるだろう.

>９と１０の間には無数の数があるか？無限の数があるか？....

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＞たまたまカウントしなかっただけで

＞　＞９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。

無数？無限？とんでもない！

変な先生ですね　^ ^;