教科書にlim[h→0](1+h)^1/h=eの証明がのっていたのですが
分からないところがあるので教えて下さい。
[証明] (logx)'=1/x より,x=1における微分定数は1である。
したがって,微分係数の定義式から
lim[h→0]log(1+h)-log1 /h=1
左辺を変形して
lim[h→0]1/h log(1+h)=lim[h→0]log(1+h)^1/h=1
また
1/h=x すなわち h=1/x
とおくと,x→±∞のときh→0であるから
lim[x→∞](1+1/x)^x
=lim[x→-∞](1+1/x)^x
=lim[h→0](1+h)^1/h=e
この証明の途中までは分かるのですが、「また」というあたりから何をしているのか分かりません。
何故logが無くなったか、もろもろ教えて下さい。
よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
"e"をどのように定義しているかが問題です。
(a^x)'=a^xとなるaをeの定義としているのか
lim[x→∞](1+1/x)^xを"e"としているのか、が問題です。
前者であるなら"また"よりも前だけを証明とすればよいし、
後者であるなら"また"よりも後ろだけを証明とすればよい。
補足として、
lim[x→-∞](1+1/x)^x=lim[t→∞](1-1/t)^(-t) (t=-xと置き換え)
=lim[t→∞]{(t-1)/t}^(-t)=lim[t→∞]{t/(t-1)}^t
=lim[t→∞]{1+1/(t-1)}^t=lim[t→∞]{1+1/(t-1)}^(t-1)*{1+1/(t-1)}
=e
となります。
No.1
- 回答日時:
要するに
1/h=x すなわち h=1/xを
lim[h→0](1+h)^1/h
に代入すると
lim[h→0](1+1/x)^xとなり
これはeの定義の式なので
lim[x→-∞](1+1/x)^x=e
→lim[h→0](1+h)^1/h=e
となるということです
前半と後半は違う証明法(2種類の解法を示している、後半は別解)です
前半は
lim[h→0]log(1+h)^1/h=1
の時点で証明は終わり(log(e)=1なので)です
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