A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
#2です.
与えられた偏微分方程式:
(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=0 に対して,
T(x,y)=f(x)+g(y)
とおいた解は,実際に存在します.(下記参照)
T(x,y)={exp(-ax)}{c+A∫x・exp(ax) dx}+(E/a)+(B/2b)y^2+Cy+D
A+B=0, a, c, A, B, C, D, E は定数.
この解 T(x,y)は,与えられた偏微分方程式:
(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=0 を満たします.
勿論,(∂^2/∂x∂y)T=0 も満たします.
No.3
- 回答日時:
#2のとき方ですが、これは間違っています。
なぜならT(x,y)=f(x)+g(y)と置けるという前提が間違っているからです。
このようにおけるのは(∂^2/∂x∂y)T(x,y)=0となる場合に限定されてしまうからです。このような前提は存在しないため、この表現は間違っていることがわかります。
No.2
- 回答日時:
与えられた偏微分方程式
(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=0に対して,
T(x,y)=f(x)+g(y)とおくと#1さんの解とは異なる別の解が得られます.
T(x,y)=f(x)+g(y)
(∂/∂x)T=f'(x)
(∂^2/∂x^2)T=f''(x)
(∂^2/∂y^2)T=g''(y)
(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=
= f''(x) + a*f'(x) + b*g''(y) =0
ここで,A,B を任意定数として,
f''(x) + a*f'(x)=A
b*g''(y)=B, A+B=0 A≠0,B≠0
とおきます, f''(x)+a*f'(x)=A は,両辺を x で積分すると
f'(x) + a*f(x) = A*x + E
E は積分定数です.上式は,1階常微分方程式ですから,積分できます.
一方,b*g''(y) =B は,両辺を y で2回積分すると
g'(y) = (B/b)*y + C
g(y) = (B/2b)*y^2 + C*y+D
となります.C,D は積分定数です.したがって,f'(x)+a*f(x)=A*x+E の解と
g(y)=(B/2b)*y^2+C*y+D により,1つの解:T(x,y)=f(x)+g(y)が得られます.
なお,与えられた偏微分方程式:(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=0
は,一般解を得る積分が出来ないように思います.
一般的には,解けないと言うことです.
No.1
- 回答日時:
これは常微分方程式ではなく、偏微分方程式
(∂^2/∂x^2)T+a*(∂/∂x)T+b*(∂^2/∂y^2)T=0
ですね?
そうであれば、T(x,y)=f(x)g(y)とxだけの関数とyだけの関数の積に置き換えます。
するとxでの偏微分ではyの関数は定数とみなせ、その逆も成り立ちますから、
g(y)(d^2/dx^2)f(x)+a*g(y)*(d/dx)f(x)+b*f(x)*(d^2/dy^2)g(y)=0
となります。(変数が一つだけになりましたので常微分の形になります)
これを変形すると
{(d^2/dx^2)f(x)+a*(d/dx)f(x)}/f(x)=-b*{(d^2/dy^2)g(y)}/g(y)
この式の左辺はxだけの関数であり、右辺はyだけの関数。これが恒等的に成り立つためにはこの両辺が定数である場合に限られます。
その値をcとでもおくと、f(x),g(y)に対して2階の微分方程式を解く問題に帰結します。(以下略)
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