「直積集合の全集合」とは？

Question

別の方の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html
を見ていて気になった点についてです。

「集合族の空集合と全集合」とは何でしょうか？
通常、「空集合」や「全集合」は、何らかの集合の
ベキ集合族に対して定義される概念かと思います。
一般の集合族に対する「全集合」とは、どのように
定義されるのでしょう？

「集合族Φの全集合」と言ったら、Φ自身のことでしょうか、
それとも、Φの最大元のことでしょうか？
ご存知の方、解説よろしくお願いします。

先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、
ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている
Ψ×Ω ＝ { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、
ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。

Ｙ と Ｚ の空間としての直積に付随するσ集合族　という意味で
言っているのだとすれば、「直積」は、このΨ×Ωではなく、
Ψ×Ωの任意個の元の和集合全体が成す集合族　になるハズです。
その際、「全集合」が Ｙ×Ｚ であることは違いありませんが…

また、A×0 = 0×B = 0 と考えるなら、この式の「×」を
0 と B の集合としての直積と解釈したことになります。
Ψ×Ω ＝ { A×B ; A∈Ψ, B∈Ω } と表記するのならば、
右辺内の A×B は、A と B の対 (A,B) という意図で
標準的でない書き方をしてしまったものと解釈すべきで、
A と B の集合としての直積ではありえません。
その場合、0×B は、Ψ×Ωの元で Ｙ成分が 0、Ｚ成分が B の
ものであって、空集合ではありません。

stomachman · Accepted Answer

　そうかなあ？

> 先の http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4877672.html の例で言えば、
> ΨとΩの集合族としての直積は、質問氏の書いている
> Ψ×Ω ＝ { (A,B) ; A∈Ψ, B∈Ω } ですが、これは、
> ベキ集合族ではないし、σ集合族でもありません。

　はてさて、かの質問氏はそんなこと書いてましたっけか。引用すると

>> σ集合体Ψ、Ωを使って、(*)のように直積をとった集合族の空集合と
>> 全集合は何になるんでしょうか？ちなみに、Ψは集合Y、Ωは集合Zを
>> もとに作られているとします。
>> {A×B; A∈Ψ, B∈Ω} (*)

とあります。すなわち、
　Ψは集合Yの部分集合を要素とするσ集合体(完全加法族)である。
　Ωは集合Zの部分集合を要素とするσ集合体である。
　また、A×Bはフツーに読めばYの部分集合AとZの部分集合Bの直積集合
A×B = {<a,b> | a∈A ∧ b∈B}
のことでしょう。空集合をφと書くことにすると、ついでながら
A×φ = {<a,b> | a∈A ∧ b∈φ} = φ
φ×B = {<a,b> | a∈φ ∧ b∈B} = φ
です。で、(*)の集合をXと書くことにすれば、
X = {A×B | A∈Ψ ∧ B∈Ω}
と、ここまで、特段変なところはないように思われます。

　さて、「Xの全集合(全体集合）」だの「Xの空集合」という言い方、実は聞いたことがないんですけれども、ここで考えているもののうちで一番大きそうなのがXなのだから、おそらくXが「Xの全集合」なのでしょう。そしてまた、Xが集合である以上は
φ⊂X
なのだから、φが「Xの空集合」なんだろうなあと思います。（で、ここまでの話は、集合Xがどうやって出来ているかは全然関係ない。）
　ところで、上記のX自身もまたσ集合体になっているんじゃありませんかね？だとすると
X = Y×Z
となりそうですから、結局「Xの全集合はY×Zで、Xの空集合はφ」ということになるんじゃありません？

stomachman · Answer

そうでした。
って、いやこれはANo.1のコメントについてです。

> (*) は、σ集合族にはなりません。

　仰るとおりです。余計なことを書いて間違えました。(*^^*)
　Xはσ集合族にはなりませんし、
X = Y×Z
でもない。かくてstomachmanのANo.1は修正が必要で、修正の結果残るのは「どんな集合Xであれ、「Xの全集合」とはXのこと、「Xの空集合」とはφのこと」というアホみたいな話だけです。

> ブール代数でないものの「全集合」を定義することには、大きな違和感があります。

 「「全集合」は、集合Xのべき集合2^Xを関係⊂で束と見たときに、その極大元を指す用語として意味を持つ」と考えることもできる。ですがこれを「束2^Xの極大元はXだ」とは言えても「2^Xの全集合はXだ」と言ったらおかしくて、やっぱり「Xの全集合はXだ」としかならない。となると「全集合」なる用語の出番は、ご指摘の通り「補集合」とセットになっているに違いない。

　で、「補集合」は、stomachman的にはですね、単なる表記上の略記・便法だと捉えています。すなわち、「補集合」ってのは、差集合をいちいち書くのがめんどくさいから「イツモノヤツからAを除いたもの」という風に略記しただけの、ま、文化的言い回しみたいなもんだと思っている。
　その際に「イツモノヤツ」を指すのに「全集合」なる表現を使う。もう少し正確に言えば、「以下で補集合を使う時には、その全集合はXであるものとする」という略記のための断り書きでだけ、「全集合」なる用語が意味を持つと思う。ここで「その」が指すのは（Xではなく、また補集合として表された集合でもなく）補集合という形の略記、その表記そのものである。だから「Xの全集合」なる表現は出てこない。

　そんなわけで、「Xの全集合」ってのにはかなり違和感があります。単にXと言えば足りるのになんで「全集合」と付ける？
　さらに、「Xの空集合」ってのは、違和感どころじゃなく、もう誤りだと言っても良いぐらいだと思う。なぜなら、いちいち「Xの」と断らなければ空集合の一意性が言えないんじゃ、それは集合論ではない。外延の公理が泣きます。

> 一般の集合族に対して定義されるものでしょうか？

　（圏論じゃないのだから）どんな集合族Xだってそれ自体が集合であることには違いない。なので、その部分集合として必ず空集合が存在する(φ⊂X）し、XとXの部分集合A(A⊂X)との差集合(X＼A)を考えたくなったら「補集合」や「全集合」という用語を使っても悪い訳ではないと思いますけど。

「直積集合の全集合」とは？

そうかなあ？

そうでした。

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