比の異なる度合を表す式を知りたい

比の違い度合を表す式を知りたいです。

例えば，a1:a2:a3という比…A と，b1:b2:b3…B という比 があったとします。
ただしa1,a2,a3,b1,b2,b3とも0以上の整数です。

このとき，a1:a2:a3という比…A と b1:b2:b3という比…B
の違いの度合いを示す式を知りたいのですが，
どなたかご存知ではないでしょうか？

一般的に使われている式があるのでしたら，その式でもかまいませんし，
オリジナルの式でもかまいません。



比の違いを示す例としては，
・AとBの比の違いが大きい→式が示す値が大きい
や，
・AとBの比の違いが大きい→式が示す値が小さい
などです。

ただし，もちろん
（a1,a2,a3）…A で， (α×a1,α×a2,α×a3）…B のときのような，
BはAの定数倍のときは，
「AとBの比の違いは無い」こととします。

No.8 ベストアンサー 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/04/18 16:55

No.6の回答への補足質問に対して。

（今日、病院へ行ってきました。まだ、直ってませんが貴方の問題が何か興味深いものがあってまたやってます。）

＞もしかして，3要素以上の比の違いの大きさを示す一般的な式
＞というものが既に存在しているのですか？
＞もしそうならば知りたいのですが…。

そんなものはありません。

arrysthmiaさんが言われているように、３次元の場合（３数の比の場合）それらを３次元の単位ベクトルに直せば、それら全部のベクトルの矢頭は単位球面上にあります。（それら全部は原点から出ている位置ベクトルのように考えて）

（正の比に限れば、1/8球。　地球でいえば、北半球のヨーロッパ、北アフリカ、中近東、中央アジア・インド、ロシア・西シベリアなどを含む領域[随分ありますね。]ベクトルの起点はこの場合地球の中心）

それぞれの比はみんな単位球面上の点のように表されたわけです。そうすれば、近い二つの２点は近い比を持つと言えそうです。なぜなら、同じ比をもつ二つの「３数の比」は同じ点を表すからです。

また、A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)はそれぞれ、Aはガーナ沖の赤道上の点、Bはこの間津波のあったセイロン（今はスリランカ）とインドネシア海域の赤道上の点、そして、最後のC点は北極点。
これらは極端な比ですが、たとえば、以下のA',B',C'の比を
A'(250,3,5)
B'(2,321,7)
C'(4,5,908)
ベクトルと見なしてそれらの単位ベクトルを作ればほとんど、A,B,Cの点に来ます。このA',B',C'の元々の比は一箇所だけが際立って大きいお互い「違い」が「大きい」比たちです。違いが大きい点は文字通り離れたところにあります。

したがって、「近さ」のある目安として
（１）単位球面上の２点の「間の角」P
（２）２つの単位ベクトルの内積を使った　CosP
（３）２つの単位ベクトルの外積を使った　１－SinP

「違い」の目安として、
（１）1/P
（２）１－Cos
（３）SinP

多次元（４以上の数の比）の場合でも、２つの単位ベクトルの内積で間の角Pを
内積＝CosP
で一般化すれば、Cosの逆関数を使って
P=Cos^(-1){内積｝
で与えられるのでSinPも作れることになります。

多少の差はありますが、これがarrysthmiaさんが最初にNo4で言われていたことだったと思います。

この回答への補足

＞Akira_Ojiさん
arrysthmiaさんが言っていた球の話は，
単位円に対応する単位球から来ていたんですね。

＞したがって、「近さ」のある目安として（１）単位球面上の２点の「間の角」P，
＞（２）２つの単位ベクトルの内積を使った　CosP，
＞（３）２つの単位ベクトルの外積を使った　１－SinP
そういえば，“類似した曲を提案する”といったある論文中で，
音楽が人へ与える各感情を軸とした意味空間内での
曲の類似度にたしか内積を用いていました。
通販のアマゾンのおすすめにも内積の計算を用いている
ということを聞いたことがあります。
類似度には（2）のcosが使われることが一般的なのかもしれませんね。

補足日時：2009/04/21 00:22

この回答へのお礼

Akira_Ojiさん。
詳しく説明していただきありがとうございました。
おかげで有意義な質問となりました。

お礼日時：2009/05/05 23:46

No.7 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/17 21:28

陳謝と訂正：　No.5 に嘘がありました。

比　a1:a2:a3　b1:b2:b3　に負項を許す場合でも、
比の各項を -1 倍して小さい方の角をとれば
「成す角」は 0～π/2 ですから、sin を使って問題ありません。

使い分けは、No.6 さんの仰る通りですね。

この回答へのお礼

arrysthmiaさん。
ありがとうございました。
おかげで有意義な質問となりました。

お礼日時：2009/05/05 23:48

No.6 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/04/17 17:22

Arrysthmia さんの意見に賛成です。

１度目と２度目のArrysthmia さんの回答の間に一所懸命タイプをしていたのですが、そのタイプの間にモデル計算なんかをしていたためか、字数オーバーあるいは時間切れで二度送るのを失敗しました。ちょっと、病気気味なので、元気がなく三度目を諦めていました。２度目のArrysthmia さんの回答をみて、ちょっとひとことだけ。Arrysthmia さんの回答で十分ですから。

とにかく、それぞれの比をベクトルとみなし、その単位ベクトルを作る。
比較したい二つのベクトルの単位ベクトルから
（A)内積を求める。
（B)外積の大きさを求める。

（A)は二つの間の角度をCとすれば　Cos(C)で比が近ければCは０に近いので１に近いわけです。よってArrysthmia さんがあえて　１－内積として「違い」を表す量とされたわけです。
（B)外積は同じ方向のベクトルでは０になる量ですがこのゼロはベクトルのゼロですから、Arrysthmia さんが「大きさ」を言われているわけです。これはつまるところ、Sin(C)になるわけですから、これも「違い」の指標になると思います。ただし、計算が（A)に較べて長くなります。

（A)　１－Cos(C)
（B)　Sin(C)
の二つのグラフを書いてみると分りますが、（A)は緩やかにスタートしC=90度の付近で急勾配になります。一方、（B)はC=0度で急勾配でスタートしだんだん緩やかになっていきます。したがって、小さな「違い」を見る場合は（B)が、「違い」が比較的大きいところでは（A)が敏感であるわけです。もし、大量のDATAを比較する場合はまず（A)をやり、そのときに角度Cを求めておけば、（B)も計算できます。
（A)は４次元以上の比でも比較できますので、便利かも知れません。（B)は４次元以上になったばあいは、ちょっとややこしそうです。（類推でできるとも思いますが、）以上。

この回答への補足

＞Akira_Ojiさん
回答ありがとうございます。
病気気味のところすいません。
でも病気気味なのにネットやってちゃダメですよ（笑）。

ちょっと質問があります。
Akira_Ojiさんの文章を読んでいると，
「比が近ければ」とか，小さな「違い」　とか，「違い」が比較的大きい　とか
という言葉が出てきます。
　
もしかして，3要素以上の比の違いの大きさを示す一般的な式
というものが既に存在しているのですか？
もしそうならば知りたいのですが…。

自分は，小さな「違い」とか，「違い」が比較的大きい
ということ自体を判断できないのです。
ですからArrysthmia さんの提案や，外積の大きさを用いると
違いっぽいものを表現できるのではないかと考えているんです。

補足日時：2009/04/18 02:50

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/16 22:31

＞ 「単位ベクトルの外積の大きさ」なんかはどうでしょうか？

内積は cos(成す角) で、外積の大きさは | sin(成す角) | ですね。
成す角の単調関数で何かないか？ という発想は同じです。
今回は、比の各項が正に限定されていますから、sin でもよいと思います。
比に負項を許す場合には、成す角が直角より大きいことがあり得ますから、
sin だと単調になりませんが。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/16 20:17

比　a1:a2:a3　b1:b2:b3　は扱いにくいので、

ベクトル　(a1,a2,a3)　(b1,b2,b3)　で置き換えて扱う
ことを考えます。　もともとは比ですから、
(a1,a2,a3)　(b1,b2,b3)　の長さには意味がありません。
そこで、それぞれの方向の単位ベクトルを作りましょう。
もとの比が　0:0:0　でなければ、比と単位ベクトルは
一対一に対応します。

両者の単位ベクトルを球面上の点と考え、
二点の遠近を表現するような量を
「違い度合を表す式」としてはどうでしょう。

二点間の距離でも良いし、ベクトルの成す角でも良い。
成す角の単調増加関数で、計算が簡単なものとして、
(1 - 内積)　もひとつの選択肢でしょう。

この回答への補足

＞arrysthmiaさん
的確でわかりやすい文章での説明，
ありがとうございます。

ただ，3次元や，1次元減らした平面の話としては理解できるのですが，
自分としては「球面上の点と考え」というところが解らなかったです。
なぜ球面上の点と考えるのかです。

2，3日考えていたんですけど，「単位ベクトルの外積の大きさ」
なんかはどうでしょうか？
内積より外積の方が計算面倒ですけど。

補足日時：2009/04/16 21:08

No.3 回答者： kata_san 回答日時： 2009/04/16 12:07

ANo.1です。

黄金比・白銀比は以下に詳しくあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BD%E9%8A%80% …

この回答への補足

＞kata_san
参考HP見たのですけど，
黄金比との違う度合を示す式は分からなかったです。

補足日時：2009/04/16 13:05

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2009/04/16 09:50

結局、平均と分散(標準偏差)に還元されるのではないでしょうか。

No.1 回答者： kata_san 回答日時： 2009/04/16 04:58

これは、黄金比とか白銀比とかではなくて？

この回答への補足

＞kata_sanさん
＞これは、黄金比とか白銀比とかではなくて？
違います。
ですけど，黄金比との違う度合を示す式をお知りでしたら，
参考にしたいので教えて下さい。

補足日時：2009/04/16 05:32