数IIIの問題なんですが、、、

数IIIの問題なんですが、以下の問題を解くことができないんです。　
どなたかよい解法をお願いします。　　

曲線X=cos^3θ、Y＝sin^3θで囲まれた部分の面積。

答えは3/8πになるらしいです。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/05 22:01

休みボケか　Ｗ

＞3倍角の公式より、cos（3θ）＝4（cosθ）＾3-3cosθ、sin（3θ）＝3sinθ-4（sinθ）＾3から、x＾（2/3）＋y＾（2/3）＝1という曲線になる。

アステロイドの方程式を求めるだけなら、x＝cos^3θ、y＝sin^3θ　より、x＾（2/3）＋y＾（2/3）＝（cosθ）＾2＋（sinθ）＾2＝1という曲線になる。

3倍角による変形は、面積を求める時に使うだけ。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/06 20:57

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/05 21:01

これは、パラメーターθを次のように消去する。

3倍角の公式より、cos（3θ）＝4（cosθ）＾3-3cosθ、sin（3θ）＝3sinθ-4（sinθ）＾3から、x＾（2/3）＋y＾（2/3）＝1という曲線になる。
これは、アステロイドと呼ばれている。
さて、その面積だが、図形が下のＵＲＬに載ってるから、すぐ出来るだろう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9% …

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2009/05/06 20:56

No.2 回答者： yamori2009 回答日時： 2009/05/04 18:54

t=θとします

x^2=cos^6t=(1-sin^2t)^3=(1-y^(2/3))^3
x^(2/3)+y^(2/3)=1
このグラフはx軸対称かつy軸対称です(x>=0,y>=0で考えます)
x=0のときy=1,x=1のときy=0であり、xが増加すればするほどyは減少することも分かりますから、求める面積は
4∫[0,1]ydx=12∫[0,π/2]sin^4tcos^2tdt
=3/4∫[0,π/2](1-cos4t)(1-cos2t)dt
=3π/8

この回答へのお礼

ありがとうございました！！
やってみます。

お礼日時：2009/05/06 20:55

No.1 回答者： doc_sunday 回答日時： 2009/05/04 16:09

これ、θの範囲を決めないと発散しませんか？

この回答への補足

私もそう思ったんですけど、
問題集に書いてなかったんですよ（＋。＋）；
解けないってことですよね。

補足日時：2009/05/04 18:21