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減衰のグラフを書け(エクセルで)という宿題が出ました。
全く分かりません。

初期変位d=1、初期速度v=0のときにh=2のときにどんなグラフになるのか?
式は添付データに書いてあります。
ωが何であるのかも分かりません・・・。

宜しくお願いします!

「減衰振動」の質問画像

A 回答 (1件)

空気中のバネの運動では空気抵抗が働く。

質点と原点との距離をx(t)とする。振動の速度があまり大きくないときには、空気抵抗は速度x'(t)に比例する。速度に比例する抵抗は速度と逆向きに作用する。比例定数をcとする。また原点の方向へ距離x(t)に比例する引力を受ける。その比例定数をkとする。質点の質量をmとする。バネの運動の微分方程式は
mx"=-cx'-kx  (m>0、c>0、k>0)
となる。形を整えると
mx"+cx'+kx=0  (m>0、c>0、k>0)
となる。mで割ると
x"+cx'/m+kx/m=0  (m>0、c>0、k>0)
であるから、
a=c/m
ω2=k/m
とおくと
x"+ax'+ω2x=0  (a>0、ω>0)
となる。a=0のときは、抵抗がないときに相当し、単振動となる。この形の微分方程式を2階線形微分方程式という。

D=a2-4ω2とおく
D>0のとき、一般解は
x(t)=C1exp(λ1t)+C2exp(λ2t)
である。ここで
λ1、2=(-a±)/2<0
であるから
limx(t)=0
t→∞
となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和である。この運動を、過減衰振動(over-damping)といい、非周期的な運動である。

D=0のとき、一般解は
x(t)=(C1+C2t)eλt
である。ここで
λ=-a/2<0
であるから
limx(t)=0
t→∞
となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和であるが、その差は小さい。この運動を、臨界減衰(critical damping)という。

D<0のとき、一般解は
x(t)=e-μt(C1cos(ωt)+C2sin(ωt))
である。ここで
μ=-a/2<0
ω=/2
であるから
limx(t)=0
t→∞
となる。バネは振動しながら指数的に減衰していく。この運動を、1次元減衰調和振動(damped oscilaion)または減衰正弦曲線という。また隣り合う極大値の比を減衰比(damping ratio)という。その対数を対数減衰率(logarithmic decrement)という。

--------------------------------------------------------------------------------
 数値解を求めるために、次の連立微分方程式系に直す。
x'=y       (1)
y'=-ay-ω2x   (2)
ω=1を固定して、係数aを変えてみる。a=1のときは、D<0となり、1次元減衰調和振動となる。a=2のときは、D=0となり、臨界減衰となる。a=3のときは、D>0となり、過減衰振動となる。初期値をx0=1、y0=10として、係数aを変化させたときの解曲線は次のようになる。
曲線は2次曲線です。
  

この回答への補足

画像の式にd=1、v=0、h=2を代入した場合、「e」と「ω」は何の数字を代入して、計算すれば良いでしょうか?
宜しくお願いします。

補足日時:2009/05/16 23:03
    • good
    • 0
この回答へのお礼

長文有難う御座います!
ωを1として計算してみます。回答、有り難う御座いました!

お礼日時:2009/05/17 13:48

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Q減衰振動のグラフが書けない…

微分方程式の基礎問題で、
 
 10(dx^2/dt^2)+10(dx/dt)+10x=0

をx(t)について解き、グラフに示せという問題で足が止まりました。

 この解は

  x(t)= e^(-0.5)*(3cos3.12t+0.48sin3.12t)
  (特性方程式 D < 0 で減衰振動) 

となり、ここまでは解くできましたが、これについて関数電卓で具体的な値を求めると

x(0)= 3
x(1)= 1.83
x(2)= 1.12
x(3)= 0.68
x(4)= 0.41
x(5)= 0.25 …

というようになり、負の値が出ず減衰振動のグラフが書けません。
 ちなみに回答例のグラフでは
 
  t=0,2,4,… で極大に
  t=1,3,5,… で極小になっています。
 
 それぞれの値の絶対値を取ると、上記のxの値となるのですが…

どこがどう違うのさっぱり分かりません…
お分かりの方がいらっしゃったらどうか教えてください。

微分方程式の基礎問題で、
 
 10(dx^2/dt^2)+10(dx/dt)+10x=0

をx(t)について解き、グラフに示せという問題で足が止まりました。

 この解は

  x(t)= e^(-0.5)*(3cos3.12t+0.48sin3.12t)
  (特性方程式 D < 0 で減衰振動) 

となり、ここまでは解くできましたが、これについて関数電卓で具体的な値を求めると

x(0)= 3
x(1)= 1.83
x(2)= 1.12
x(3)= 0.68
x(4)= 0.41
x(5)= 0.25 …

というようになり、負の値が出ず減衰振動のグラフが書けません。
 ちなみ...続きを読む

Aベストアンサー

e^(-0.5) は e^(-0.5t) のミスですね.
おそらくですが,電卓の角度がradではなく度になっています.

というわけで,
> それぞれの値の絶対値を取ると、上記のxの値となるのですが…
ではなく少し違う値になるはずです.

それから,
> t=0,2,4,… で極大に
> t=1,3,5,… で極小になっています。
は大体正しいですが,
3.12 < π
なので徐々にずれていきます.

Q減衰振動の計算

m d^2x/dt^2 = -mω^2x + 2mγdx/dt
上記のように速さに比例する抵抗力があり、γは定数である以下の問いに答えよ

問1 式に間違いがある直しなさい

m d^2x/dt^2 = -mw^2x - 2mγdx/dt

問2 一般解を求める為、x=e^ptとおいてpをωとγを用いて表せ
mp^2e^pt = ^mw^2e^pt - 2mγpe^pt
から
p^2+2γp+ω^2=0
解の公式より
P = -γ±√r^2-ω^2

までは理解して自力で求められました。あってるかはわかりませんが。
その後に

問題A:γ^2<ω^2なら周期的な特殊な振動を行う。この時の一般解を記し、更に名称を示せ。
問題B: Aでの振動の周期Tをωとγを用いて示せ。

というものがどういう風に計算していいかもわかりません。

答えだけ知っていてこれは減衰振動であって最終的にT=2π/√ω^2+γ^2になるらしいのですがわかりません。
丁寧な解法と解説お願いします。

Aベストアンサー

要するに減衰振動

γ^2<ω^2からΩ=√(ω^2-γ^2)とおくと

p=-γ±iΩ(iは虚数単位)

x=ae^(-γ+iΩ)t+be^(-γ-iΩ)t=e^(-γt)(Acos(Ωt)+Bsin(Ωt))

これが問題Aの解

T=2π/Ω=2π/√(ω^2-γ^2)

これが問題Bの解

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Qtanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

Aベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。


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