「n個のボールをn個の箱へランダムに配分するときK個の箱が空である確立を求めよ。ただし、ボールと箱はどちらも区別する。」という問題なんですが、解ける方がいたら、ぜひその解き方と答えを教えてください。

(n-k)個の箱には少なくとも1つのボールがあるので、まず、(nーk)個の箱の各々に1つずつボールをいれその後残りのk個のボールを配分するとして考えてみたんですが、これでは重複して数えてしまうことになり、うまく数えれませんでした。

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A 回答 (1件)

適当なn(=5とか)でまず考えることをオススメします.



私の考えた解法としては,まずk=n-1から考え始めます.なお,以下の考え方では事象数を数えていますから,確率に直すときは全事象(=n^n)で割ってください.答えの事象数をQ(n)としています.

(k=n-1)
これは簡単ですね.n個の箱のうち1個にすべて入ればいいのですから,n通りです.ただし,今後の論議を簡略するために,これを(nC1)P(1)とします.ここで,nC1はnコンビネーション1,P(1)はある関数とします.この場合,P(1)=1です.
Q(1)=(nC1)P(1)

(k=n-2)
2つの箱に入る場合,まず箱を選びます.選ぶ組み合わせは(nC2)ですね.その箱にn個の玉全部が入る組み合わせは2^nです.しかし,1個の箱にしか入らない組み合わせ(2C1)P(1)通りが余分なので,引きます.
Q(2)=nC2(2^n-(2C1)P(1))

(k=n-3)
そろそろ法則が見えてきたと思います.箱を選ぶ組み合わせが(nC3)で,n個の玉全部が入る組み合わせが3^n.このとき,2個の箱にしか入らない組み合わせ(3C2)P(2)通りと1個の箱にしか入らない組み合わせ(3C1)P(1)通りが余分なので引きます.
Q(3)=(nC3){3^n-(3C2)P(2)-(3C1)P(1)}

(k=n-t)
上記の計算をまとめると,
Q(t)=(nCt){t^n-(sum_[s=1]^[t-1](tCs)P(s))}
となります.ちなみにsum_[s=1]^[t-1]は総和記号(シグマ)の開始がs=1で終了がt-1ということです(わかりづらくてすみません).
k=n-tよりt=n-kであること,P(s)を整理すること,それらを考慮して式を整理すると,うまくいきます.
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この回答へのお礼

回答の手順も示していただいてありがとうございます。
とても参考になり助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/19 01:41

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Q【確率論】m個の箱があり、N個のボールをこれらの箱にランダムで割り当てて・・・

m個の箱があり、N個のボールをこれらの箱にランダムに割り当てていく。
このとき、M個の箱のボールの数が(u1,....,um)となる確率は?

自分で考えてもどうしても分からなかったので、もし分かる方がいらっしゃいましたら解答を教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>このとき、M個の箱のボールの数が(u1,....,um)となる確率は?

「M個の箱」というのは、たぶん「m個の箱」ですよね。
m個の箱のボールの数が(u1,u2,....,um)となる確率は、
(1/m^N)*(N!/((u1!)*(u2!)*…*(um!)))
になると思います。

Q高校数学の場合の数の問題です。

nを自然数とする、n個のボールを3つの箱に分けて入れる。次のように入れる入れ方は何通りあるか。ただし、一個のボールも入らない箱があっても良いものとする。
(1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、A、B、Cと区別された3つの箱に入れる
(2)互いに区別のつかないn個のボールを、A、B、Cと区別された3つの箱に入れる
(3)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、区別のつかない3つの箱に入れる


やり方も含めて教えていただけると助かりますm(__)m

Aベストアンサー

(1)
どのボールも3通りの入れ方があるので、3^n通り・・・答え
(2)
(ア)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方は、一列に並べた
n個のボールを三つに分ける分け方(n-1)C2=(n-1)(n-2)/2通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方は、二つの箱の選び方
3C2×一列に並べたn個のボールを二つに分ける分け方(n-1)C1
=3(n-1)通り
(ウ)一つの箱だけにボールを入れる入れ方は3C1=3通り
以上から(ア)+(イ)+(ウ)=(n-1)(n-2)/2+3(n-1)+3=(n^2+3n+2)/2
=(n+1)(n+2)/2通り・・・答え
(3)
(1)の答え3^n通りの内訳は
(ア)一つの箱だけにボールを入れる入れ方:3通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方:3C2(2^n-2)
=3(2^n)-6通り
(ウ)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方:
3^n-3-{3(2^n)-6}=3^n-3(2^n)+3通りである。
3つの箱の区別がつかない場合、
(ア)は1/3に、(イ)は(1/3)(1/2)=1/6に、(ウ)は1/3!=1/6になるので、
3(1/3)+{3(2^n)-6}/6+{3^n-3(2^n)+3}/6=(3^n+3)/6通り・・・答え

(1)
どのボールも3通りの入れ方があるので、3^n通り・・・答え
(2)
(ア)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方は、一列に並べた
n個のボールを三つに分ける分け方(n-1)C2=(n-1)(n-2)/2通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方は、二つの箱の選び方
3C2×一列に並べたn個のボールを二つに分ける分け方(n-1)C1
=3(n-1)通り
(ウ)一つの箱だけにボールを入れる入れ方は3C1=3通り
以上から(ア)+(イ)+(ウ)=(n-1)(n-2)/2+3(n-1)+3=(n^2+3n+2)/2
=(n+1)(n+2)/2通り・・・答え
(3)
(1)の答え3^n通りの内訳は
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Qn個の箱とn個の球を全部異なるように入れる総数

n個の箱とn個の球がある。n個の箱には、1,2,・・・nと通し番号がついている。n個の球にも1,2,・・・nと通し番号がついている。いま、n個の箱に1つずつ球を入れるとき、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方の総数をU_nとする。
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(2)U_n+1、U_n、U_n-1の間の関係を表す式を求めよ
(3)U_n+1、U_nとの間の関係を表す式を求めよ。

この問題を考えています。(1)はU_1=0、U_2=1、U_3=6、U_4=9 数え上げていったのですがあっているでしょうか?
(2)(3)は「漸化式」を求める問題だと思うのですが、
うまく立てられません。予想して帰納法はうまくいきませんでした。ほかにいい方法はないでしょうか?
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

Aベストアンサー

U[1]=0, U[2]=1までは良いけれど、ご質問のU[3],U[4]は違ってますね。漸化式は、まず小さいnについて調べてみることが重要です。でも、調べた僅かな例からカンで式を予想するってのは、確信が持てませんし、あんまり旨く行きません。それよりも、「U[n+1]で表されるもの(この場合、ボールの入れ方)」を「U[n]で表されるもの」と「U[n-1]で表されるもの」から作り出す手順を具体化してみることがポイントです。

「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」を数えてみましょう。

 まず、「n個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」をひとつ決めたとしましょう。
 そして、これらの箱の中からひとつ選んで箱jとしましょう。(この選び方はn通りあります。)箱jに入っている球を球kとしましょう。球kを箱jから取り除き、そこに、n+1番の箱と球を持ってきます。
球kを箱(n+1)に入れ、空いた箱jに球(n+1)を入れれば、「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」がひとつ出来上がります。
 だから、このやりかたでn×U[n]通りが作れます。

 しかしそれだけではありません。
 「n個の箱と球について、箱の番号と球の番号が一箇所を除いて全部異なっているような入れ方」を一つ決めたとしましょう。箱の番号と球の番号が一致しているところがひとつだけあるので、その番号をjとします。で、n+1番の箱と球を持ってきます。そして、球jを箱(n+1)に入れ、空いた箱jに球(n+1)を入れれば、「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」がひとつ出来上がります。

 ここで「n個の箱と球について、箱の番号と球の番号が一箇所を除いて全部異なっているような入れ方」は何通りあるでしょうか。一致している番号を何にするかの選び方がn通りあります。そして、残りの「(n-1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」をすれば良いのだから、n×U[n-1]通りあります。

 以上から、
U[n+1] = nU[n] + nU[n-1]
と分かります。これは線形漸化式なので、機械的に一般項を出すことも可能です。

U[1]=0, U[2]=1までは良いけれど、ご質問のU[3],U[4]は違ってますね。漸化式は、まず小さいnについて調べてみることが重要です。でも、調べた僅かな例からカンで式を予想するってのは、確信が持てませんし、あんまり旨く行きません。それよりも、「U[n+1]で表されるもの(この場合、ボールの入れ方)」を「U[n]で表されるもの」と「U[n-1]で表されるもの」から作り出す手順を具体化してみることがポイントです。

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Q確率母関数の定義

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不確かなことなので間違っているかもしれませんが,どうかお願いします。

Aベストアンサー

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかというと、次の事実によります。
すなわちG(0)=p_0、G'(0)=p_1、G''(0)=2p_2、
…、G^(n)(0)=n!p_n、…のように、原点での微分係数が
確率を与える(すなわち確率の母というわけです)からです。

通常、連続分布などの場合は、ラプラス変換であるモーメント母関数、
あるいはフーリエ変換である特性関数などを用いますが、
離散値であることがわかっている場合は、確率母関数を用いる方が
計算が容易であることも多く、よく重宝されます。

なぜこれが便利かというと、たとえば二つの確率分布が独立であること
の証明をするのに、確率母関数が積に分解するかどうかを確かめる
だけでよいからです。このことはモーメント母関数でも特性関数でも
まったく同様です。

なお、通常用いられている、分布関数F(x)という用語は、
ある確率変数(あるいは確率分布)で、値x以下を取る確率のことを
指します。したがって確率母関数とは異なる用語です。

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかという...続きを読む


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