「n個のボールをn個の箱へランダムに配分するときK個の箱が空である確立を求めよ。ただし、ボールと箱はどちらも区別する。」という問題なんですが、解ける方がいたら、ぜひその解き方と答えを教えてください。

(n-k)個の箱には少なくとも1つのボールがあるので、まず、(nーk)個の箱の各々に1つずつボールをいれその後残りのk個のボールを配分するとして考えてみたんですが、これでは重複して数えてしまうことになり、うまく数えれませんでした。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

適当なn(=5とか)でまず考えることをオススメします.



私の考えた解法としては,まずk=n-1から考え始めます.なお,以下の考え方では事象数を数えていますから,確率に直すときは全事象(=n^n)で割ってください.答えの事象数をQ(n)としています.

(k=n-1)
これは簡単ですね.n個の箱のうち1個にすべて入ればいいのですから,n通りです.ただし,今後の論議を簡略するために,これを(nC1)P(1)とします.ここで,nC1はnコンビネーション1,P(1)はある関数とします.この場合,P(1)=1です.
Q(1)=(nC1)P(1)

(k=n-2)
2つの箱に入る場合,まず箱を選びます.選ぶ組み合わせは(nC2)ですね.その箱にn個の玉全部が入る組み合わせは2^nです.しかし,1個の箱にしか入らない組み合わせ(2C1)P(1)通りが余分なので,引きます.
Q(2)=nC2(2^n-(2C1)P(1))

(k=n-3)
そろそろ法則が見えてきたと思います.箱を選ぶ組み合わせが(nC3)で,n個の玉全部が入る組み合わせが3^n.このとき,2個の箱にしか入らない組み合わせ(3C2)P(2)通りと1個の箱にしか入らない組み合わせ(3C1)P(1)通りが余分なので引きます.
Q(3)=(nC3){3^n-(3C2)P(2)-(3C1)P(1)}

(k=n-t)
上記の計算をまとめると,
Q(t)=(nCt){t^n-(sum_[s=1]^[t-1](tCs)P(s))}
となります.ちなみにsum_[s=1]^[t-1]は総和記号(シグマ)の開始がs=1で終了がt-1ということです(わかりづらくてすみません).
k=n-tよりt=n-kであること,P(s)を整理すること,それらを考慮して式を整理すると,うまくいきます.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答の手順も示していただいてありがとうございます。
とても参考になり助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/19 01:41

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qチラシで作る台形の箱の折り方。

チラシ(長方形)で作る箱の折り方知ってる方いますか?
横から見ると逆台形に見える箱です。

作り方忘れてしまいました。

Aベストアンサー

お礼拝見、自作の画像です、唯、長方形も貴方が理想とする[ 比率 ]は判りませんので通常のA4サイズのチラシです。
紙は2枚重ねが好い様な気がします、肝腎の物を受ける部分が弱い気がしました。
添付画像では判り難いかも知れませんが、ちゃんと出来上がりは長方形ですよ。

参考URL:
A:http://mamichan1.blog16.fc2.com/blog-entry-956.html
B:http://keitas.seesaa.net/article/94540157.html

Bの画像が多分貴方の理想とする物に近いのではないでしょうか ?(2枚の画像クリック拡大)
Aも各画像クリックで拡大 !!

貴方が仰る「逆台形に見える」部分は、色々と工夫してみて下さい、添付画像も2っつ分の箱にしたのも然(そ)うゆう意味が在るからです。

Q【問題】箱に2個の赤いボールとn-2個の白いボールが入っている。(n=

【問題】箱に2個の赤いボールとn-2個の白いボールが入っている。(n=3,4,5,・・・)
(1)略
(2)箱から3個のボールを取り出すとき、2個が白、1個が赤となる確率をP(n)とおく。このとき、P(n)={6(n-3)}/{n(n-1)}であることを証明せよ。ただし、どのボールも取り出される確率は等しいとする。
(3)P(n)-P(n+1)を求めよ。
(4)p(n)が最大になる確率を求めよ。

(2)からわかりません^^;
数学的帰納法を使おうとしてn=3のとき成り立つ。として、次にn=kのとき成り立つと仮定して、n=k+3のとき成り立つことを示そうとしたのですが。。。できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。^^

(2)と(3)は、素直に計算しましょう。

(2) 「分母」と「分子」にわけておきます。
・ボールは全部で何個ありますか?そこから 3個を選ぶ組合せの数が「分母」です。
・「分子」は、n-2個から 2個の白、2個から 1個の赤が選ばれればよいわけで。

(3) (2)で答えはわかっているので、計算するのみです。

(4) (3)の結果を使います。
P(n+1)- P(n)とした方がわかりやすいと思いますが、これは「変化量」を表しています。
つまり、
・P(n+1)- P(n)> 0ならば増えている
・P(n+1)- P(n)> 0ならば減っている
ということを表します。

n≧ 3ということを考えれば、+-の符号を決める項は限定されてきます。

微分で符号が変わるところが極値になることと同じような考え方です。

Q新聞、チラシなどで作る箱の折り方の載ってるサイト

野菜の切りくずやみかんの皮入れ用に、新聞やチラシなどを折って作る箱の折かたが載ってるサイトがあれば教えてください。(人に説明するのに言葉で説明しにくいので、、)

Aベストアンサー

これはいかがでしょう?(^o^)

参考URL:http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Gaien/3509/orikata.html

Q【確率論】m個の箱があり、N個のボールをこれらの箱にランダムで割り当てて・・・

m個の箱があり、N個のボールをこれらの箱にランダムに割り当てていく。
このとき、M個の箱のボールの数が(u1,....,um)となる確率は?

自分で考えてもどうしても分からなかったので、もし分かる方がいらっしゃいましたら解答を教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>このとき、M個の箱のボールの数が(u1,....,um)となる確率は?

「M個の箱」というのは、たぶん「m個の箱」ですよね。
m個の箱のボールの数が(u1,u2,....,um)となる確率は、
(1/m^N)*(N!/((u1!)*(u2!)*…*(um!)))
になると思います。

Q地図の折り方(たたみ方)

地図の折り方(たたみ方)に何通りかあると思うのですが、たたんだ状態で端と端を持って開くと簡単に開く
折り方があったと思うのですが、(たしか人の名前のついた
折り方)その折り方(たたみ方)を教えてほしいのですが
関連サイトでもかまわないのでよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

補足です。
三浦折りの現物をご覧になりたいのでしたら,書店の地図売り場をのぞいてみて
下さい。去年の春ごろから,ゼンリンという地図出版社が「ミウラ折り登山地図」シリーズを
出しています。また,「ミウラ折り関東圏広域東京横浜地下鉄鉄道路線図」というのもあります。

Durandal様 私も山は歩きますが,そんなに捨てたものではないと思いますよ。
等高線の正確さや縮尺の大きさなどの点からいうと,常時手元において現在地を確認するのに使うのは
ふつう国土地理院の地形図であって,ゼンリンはじめ民間の登山地図は,むしろ
プランニングとか,頂上からの展望を確認するときなどに補助的に使うものだと思います。
ですから,地形図を三浦折りして山に持っていこうとは思いませんが,登山地図が
最初から三浦折りされているぶんには,私は構わないというか,1つの選択肢として
そういう商品があってもよいと思います。まして鉄道路線図なら,全部拡げる
ことに不便を感じる状況はあまりなさそうなので(ラッシュの車内でもないかぎり),
いいのではないでしょうか。まあ半分は好みの問題なので,意見を押しつけるつもりは
ありません。

ちなみに,人工衛星の太陽電池パネルを折り畳むのにも使われているそうですね。

補足です。
三浦折りの現物をご覧になりたいのでしたら,書店の地図売り場をのぞいてみて
下さい。去年の春ごろから,ゼンリンという地図出版社が「ミウラ折り登山地図」シリーズを
出しています。また,「ミウラ折り関東圏広域東京横浜地下鉄鉄道路線図」というのもあります。

Durandal様 私も山は歩きますが,そんなに捨てたものではないと思いますよ。
等高線の正確さや縮尺の大きさなどの点からいうと,常時手元において現在地を確認するのに使うのは
ふつう国土地理院の地形図であって,ゼンリンは...続きを読む

Q数学の問題ですnを3以上の自然数とする。n個の玉を3つの箱に分配する方法は、次の各々の場合に何通り

数学の問題です
nを3以上の自然数とする。n個の玉を3つの箱に分配する方法は、次の各々の場合に何通りあるか。ただし空き箱は作らないとする。

(1)球は区別しないが箱は区別する場合
(2)球も箱も区別する場合
(3)球は区別するが箱は区別しない場合

考え方や途中式も教えていただければありがたいです
よろしくお願いします

Aベストアンサー

(1)の場合、各箱に入る玉の数だけでパターンが決まるので

Aに入る玉の数 a = 1~n-2
Bに入る玉の数 b = 1~n-a-1
Cに入る玉の数は a, b が決まれば決まるので

a = 1 では b = 1~n-2 で n-2通り
a = 2 では b = 1~n-3 で n-3通り
 :
 :
a = n-2 では b=1 で一通り

つまり (n-2) + (n-3) + ・・・ +2 + 1 = (n-1)(n-2)/2

(2) 各桁が 1~3 の n 桁の数の内、3種類の数字を使っているものを
数えればよい。

1~2種類の数字を使っているのは 3C2 x 2^n -3
1~3種類の数字を使っているのは 3^n

だから 3^n - 3 x 2^n + 3

(3) (2)で箱の並びを無視すると パターンは3P3 分の1になるので

(3^n - 3 x 2^n + 3)/6

Q普通の鶴の折り方を教えてください!

普通の鶴の折り方を教えてください!
折り方が乗っているサイトを教えてくださっても構いません。

Aベストアンサー

これは自転車の乗り方と同じで(^^)、覚えたら忘れないが、はじめは不思議です。
一例
http://ori-ori.seesaa.net/article/22768112.html

Qn個の箱とn個の球を全部異なるように入れる総数

n個の箱とn個の球がある。n個の箱には、1,2,・・・nと通し番号がついている。n個の球にも1,2,・・・nと通し番号がついている。いま、n個の箱に1つずつ球を入れるとき、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方の総数をU_nとする。
(1)U_1、U_2、U_3、U_4を求めよ
(2)U_n+1、U_n、U_n-1の間の関係を表す式を求めよ
(3)U_n+1、U_nとの間の関係を表す式を求めよ。

この問題を考えています。(1)はU_1=0、U_2=1、U_3=6、U_4=9 数え上げていったのですがあっているでしょうか?
(2)(3)は「漸化式」を求める問題だと思うのですが、
うまく立てられません。予想して帰納法はうまくいきませんでした。ほかにいい方法はないでしょうか?
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

Aベストアンサー

U[1]=0, U[2]=1までは良いけれど、ご質問のU[3],U[4]は違ってますね。漸化式は、まず小さいnについて調べてみることが重要です。でも、調べた僅かな例からカンで式を予想するってのは、確信が持てませんし、あんまり旨く行きません。それよりも、「U[n+1]で表されるもの(この場合、ボールの入れ方)」を「U[n]で表されるもの」と「U[n-1]で表されるもの」から作り出す手順を具体化してみることがポイントです。

「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」を数えてみましょう。

 まず、「n個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」をひとつ決めたとしましょう。
 そして、これらの箱の中からひとつ選んで箱jとしましょう。(この選び方はn通りあります。)箱jに入っている球を球kとしましょう。球kを箱jから取り除き、そこに、n+1番の箱と球を持ってきます。
球kを箱(n+1)に入れ、空いた箱jに球(n+1)を入れれば、「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」がひとつ出来上がります。
 だから、このやりかたでn×U[n]通りが作れます。

 しかしそれだけではありません。
 「n個の箱と球について、箱の番号と球の番号が一箇所を除いて全部異なっているような入れ方」を一つ決めたとしましょう。箱の番号と球の番号が一致しているところがひとつだけあるので、その番号をjとします。で、n+1番の箱と球を持ってきます。そして、球jを箱(n+1)に入れ、空いた箱jに球(n+1)を入れれば、「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」がひとつ出来上がります。

 ここで「n個の箱と球について、箱の番号と球の番号が一箇所を除いて全部異なっているような入れ方」は何通りあるでしょうか。一致している番号を何にするかの選び方がn通りあります。そして、残りの「(n-1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」をすれば良いのだから、n×U[n-1]通りあります。

 以上から、
U[n+1] = nU[n] + nU[n-1]
と分かります。これは線形漸化式なので、機械的に一般項を出すことも可能です。

U[1]=0, U[2]=1までは良いけれど、ご質問のU[3],U[4]は違ってますね。漸化式は、まず小さいnについて調べてみることが重要です。でも、調べた僅かな例からカンで式を予想するってのは、確信が持てませんし、あんまり旨く行きません。それよりも、「U[n+1]で表されるもの(この場合、ボールの入れ方)」を「U[n]で表されるもの」と「U[n-1]で表されるもの」から作り出す手順を具体化してみることがポイントです。

「(n+1)個の箱と球について、箱の番号と球の番号が全部異なっているような入れ方」を数えてみまし...続きを読む

Q鶴の箸置きの折り方

初めて投稿させて頂きます。6月の披露宴で鶴の箸置きを折り紙で作って使用したいと思っていますが、書店等を探したのですが、折り方の本が見つかりません。折り方が載っているものがありましたら教えて下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ご結婚おめでとうございます。
鶴の箸置きとかあるんですね。
検索したらこちらの方のブログに折り方が載ってました。
ご要望の折り方かはわかりませんが参考までに。

http://ameblo.jp/kuramoto-yasuko/image-10052160150-10034789710.html

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。


人気Q&Aランキング