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この質問がわかりません。

-1/√3+iの絶対値の2乗は○/○、偏角は○/○π(ただし、偏角は0以上、2π未満とする。)

/は分数の線とし、√の後の数字は√の中に入ってるとし、iは虚数とする。

この問題がわかりません。
答えは持ってます。

もしとき方がわかる方がいましたら、回答よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

1) 複素数 z=x+iy の絶対値は次の式で求められます。


  |z|=√(x^2+y^2)

  |-1/√3+i|^2
 =1/3+1
 =4/3

(∴ |z|=2/√3 )

2) 偏角θ (0≦θ<2π)は次式で求めます。
  tanθ=y/x
  ただし、この式では 周期π で解が出てきますので、複素数zを極座標表示して 元の複素数になっているか確認します。
  (複素平面上の第2象限にある解を求めるという方法でもOKです。)

  tanθ=1/(-1/√3)=-√3
 ∴θ=2π/3, 5π/3

 θ=2π/3 のとき
   z=2/√3 { cos(2π/3) + i sin(2π/3) }
    =-1/√3 + i
  となり、元の複素数に一致する。

 θ=5π/3 のとき
   z=2/√3 { cos(5π/3) + i sin(5π/3) }
    =+1/√3 - i
  となり、元の複素数の符号が判定していて不一致。

 以上のことから、偏角 θ=2π/3 と求められます。
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下記URLを参考にしてはいかかでしょうか。


http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukus …

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukus …

たぶん自力でとけると思います。
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複素数をx+iyとすると


絶対値は(x^2+y^2)^0.5
偏角はarctan(y/x)
ということは教科書に書いてあるはずです。
何がわからないのですか。
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有理化せずに複素数の偏角を求める方法について

ある有理化されていない複素数 C/(A+Bi) があっとして (A,B,Cは定数)
これを有理化せずに偏角を求める方法はありますでしょうか?

普通は有理化して (D+Ei)/F ここから θ=atan(E/D) と求まると思います。
絶対値の計算は有理化しないでも √(C^2)/√(A^2+B^2) と求められるようですが
偏角でも有理化せずに計算できるテクニックはないのでしょうか?

ご存じの方いらっしゃいましたら、是非ご教授お願いします。

Aベストアンサー

>有理化せずに複素数の偏角を求める方法
>ある有理化されていない複素数 C/(A+Bi) があっとして (A,B,Cは定数)
>これを有理化せずに偏角を求める方法はありますでしょうか?

ありますよ。
θ=-atan(B/A)
となりますね。
分母の位相角の符号が変わるだけです。

Q複素数の偏角

複素数zの偏角は
arg z=arctan(y/x)
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Aベストアンサー

馬鹿なこと言って茶化してる人がいるので、
A No.7 ~ No.9 を整理しておきます。

> でも参考書見るとarctan(y/x)と書いてあるわけです...
arg z = arctan(y/x) where z = x+yi, x,y∈R
は、arg の表式にはなり得ません。
問題点は x = 0 ばかりではなく、tan の周期が π であること
に起因して、複素平面の半分でしか arg を表せないからです。

arctan の値域は、-π/2 ~ π/2 にとることが多いけれど、
適当にずらして設定することも可能です。
だから、どこの半平面で arg z = arctan(y/x) になるかは、
arctan の定義次第で変わってくるのだけれど、いづれにせよ、
arg z = arctan(y/x) で表せるのは、複素平面の半分だけです。

既に書いたことですが、君の式では、
1-i と -1+i の偏角が同じ値になってしまいますね?。
> 特に範囲制限等なさそうです.
だったら、君の使っている参考書は、間違っているか、
最大限善意に解釈しても致命的に説明不足なので、
他の本で勉強したほうがよいです。

> 一般的にarg zの定義ってどうなっているのでしょう?
arg を式で表示するには、いろいろやり方があると思いますが、
簡潔なのは arg z = Im log z だろうと思います。

ここで、Im は複素数の虚部。z の共役複素数を z^ として、
Im z = (z + z^)/2 で定義される関数です。

log は複素対数で、log z = ∫[t=1→z] dt/t で定義されます。
右辺の積分は、複素積分であるために積分路依存で、
2πi の整数倍を任意に加えられる不定性があります。このため、
上式の arg にも、2π の整数倍を任意に加えられる不定性があります。
それが、偏角を考えるときに動径を何回転させるかに対応する訳です。
通常、arg の値域が 0 ~ 2π になるように調整します。

馬鹿なこと言って茶化してる人がいるので、
A No.7 ~ No.9 を整理しておきます。

> でも参考書見るとarctan(y/x)と書いてあるわけです...
arg z = arctan(y/x) where z = x+yi, x,y∈R
は、arg の表式にはなり得ません。
問題点は x = 0 ばかりではなく、tan の周期が π であること
に起因して、複素平面の半分でしか arg を表せないからです。

arctan の値域は、-π/2 ~ π/2 にとることが多いけれど、
適当にずらして設定することも可能です。
だから、どこの半平面で arg z = arctan(y/x) になるかは、...続きを読む

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(日本語)
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MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
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(1)
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(3)
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(4)
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2.
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逆に、x-iy に対して x+iy は共役複素数です。

共役複素数同士を掛け算すると、実数になります。
(x+iy)(x-iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2

(a+b)/(c-di) = (a+b)(c+di)/((c-di)(c+di))
 = (a+b)(c+di)/(c^2+d^2)


以上、ご参考になりましたら。

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→ABを(点Aを中心に)+60°回転したものが→ACだから
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ですから
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