パーセバルの等式（Σ1/n^2）

こんばんは。

xのフーリエ級数
　Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)
を利用して
　Σ(n=1,∞)(1/n^2)
の値を求める問題をやっています。

パーセバルの等式から
　(1/π)∫(-π~π)(x^2)dx = Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)^2
について
　(左辺)
　 = (1/π)*((π^3)/3+(π^3)/3)
　 = (2/3)*π^2
　(右辺)
　 = Σ(n=1,∞)(1/n^2)
から、
　Σ(n=1,∞)(1/n^2) = (2/3)*π^2
と計算したのですが、答えは (π^2)/6 のようです。

何が間違っているのかまったく分からない状態です。分かる方いらっしゃいましたら是非教えてください。
よろしくお願いします。

数式見づらくてごめんなさい。。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/14 01:30

理由は簡単です。

xの(-π,π)のフーリエ級数展開が間違っているのです。

x=Σ(n=0～∞)(-2cos(nπ)/n)sin(nx)
です。
2が抜けています。

この回答へのお礼

x*sin(n*x)の積分でミスをしておりました…。
2^2で割ればできそうですね。もう一度初めから求めてみようと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/14 02:14

No.1 回答者： Coruten 回答日時： 2009/06/14 01:11

パーセバルの等式というのですか、はじめて知りました。

まず個人的にですが、パーセバルの等式を用いずに解いてみることをおすすめします。重要なのはそこからの計算ではなく、そこまでの計算だと私は思っていますので。

さて問題ですが、
Σ(n=1,∞)(((-1)^(n+1))/n)^2=1/4Σ(n=1,∞)(1/n^2)
になるはずです。正解から逆算すれば当たり前ですが。
ヒントは-1を1に変えるときです。

この回答へのお礼

パーセバルの等式を用いずに…。
誤差を出す式の段階でやるという事でしょうか。
そっちでもやってみようと思います。

本題についてはNo.2さんに指摘して頂いたとおりxのフーリエ級数展開が間違っておりましたので、もう一度やり直してみようかと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/14 02:06