No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1の者です。
積分範囲(1)0~4(2)-1~1(3)0~2であろうと仮定してお答えします。(1)∫-(x-2)dx+∫(x-2)dx=4 積分範囲0~2と2~4
(2)∫(x^2-x)dx+∫-(x^2-x)dx=1 積分範囲-1~0と0~1
(3)∫(x+1)^2dx=26/3 積分範囲0~2
グラフを書いてみてx軸より上側に倒して計算すれば良いのです。
No.6
- 回答日時:
kenta0102さん、こんにちは。
絶対値がついているものを積分するのは、難しいですね。
まず、絶対値をついたものを、グラフにして考えてみるといいですよ。
>(1) ∫ |x-2|dx xは0から4まで積分
これは、y=|x-2|のグラフを考えてみればいいです。
このグラフは、x≧2のとき、y=x-2
x<2のとき、y=-x+2
というグラフになることは、いいでしょうか。
したがって∫|x-2|dx (x:0→4)=∫(-x+2)dx (x:0→2)+∫(x-2)dx(x:2→4)
と、分解して考えればいいですね。
計算していくと、
[-x^2/2 +2x](x:0→2) +[x^2/2 -2x](x:2→4)
=2+2=4
となることが分かります。
(注)](x:0→2)これは、積分区間が、xが0から2まで、ということを書いています。
>(2) ∫ |x^2-x|dx
同様に、絶対値のついたグラフで考えてみましょう。
y=|x^2-x|=|x(x-1)|
ですから、これは、y=x(x-1)という二次関数を
y軸で折り返して、負の部分を正にしたグラフになることが分かると思います。
∫ |x^2-x|dx(x:-1→1)=∫(x^2-x)dx(x:-1→0) +∫(-x^2+x)dx(x:0→1)
=5/6+1/6
=1
と求められます。
>(3) ∫ (|x|+1)^2dx
これも同様です。まずは、二乗の中身を展開してから。
∫ (|x|+1)^2dx =∫(x^2+2|x|+1)dx ・・・(☆)
ここで、y=|x|のグラフは、y=xのグラフを、y軸で折り返して
正の部分にもってきたグラフになります。
(x<0のとき、y=-x,x≧0のとき、y=x)
ですから、(☆)を、0から2まで積分すると
∫ (|x|+1)^2dx =∫(x^2+2|x|+1)dx
=∫(x^2+1)dx(x:0→2) +2∫|x|dx(x:0→2)
=[x^3/3 +x](x:0→2) +2∫xdx(x:0→2)
=14/3+4
=26/3
と答えが求められます。
頑張ってください!!
No.5
- 回答日時:
#4です。
(1)は、xが0→4ということなので、最後の部分は、
∫[0→4]|x-2|dx
=∫[0→2]|x-2|dx + ∫[2→4]|x-2|dx (←A+Bに分割した)
=∫[0→2]-(x-2)dx + ∫[2→4](x-2)dx
となります。
私が書いた、「絶対値の中が0未満なら、マイナスを付けて絶対値記号を外す。絶対値の中が0以上なら、そのまま絶対値記号を外す。」という機械的なやり方と、#3の方が書かれている「面積としてとらえる」というやり方の両方をご理解し、適当に使い分けるとよいと思います。
(私の場合、まず機械的にできないか?と考えます。できればそれでOKで、できなければ、面積としてとらえるとうまくいかないか?と考えます。)
No.4
- 回答日時:
>>そもそも絶対値がつくとどのように計算してよいのかわからないのです・・・。
とありますが、難しく考える必要はありません。
要するに、「絶対値の中が0未満なら、マイナスを付けて絶対値記号を外す。絶対値の中が0以上なら、そのまま絶対値記号を外す。」ということです。絶対値の中の符号が変化する場合、0未満の部分と0以上の部分に分割します(そうしないと絶対値記号を外せない)。
具体的にやってます。xが変化する範囲の中で、絶対値記号の中の式が「0未満の部分(A)」と「0以上の部分(B)」に分割し、それぞれの部分で絶対値記号を外してやればOKです。(Aの部分はマイナスを付け、Bの部分はそのまま)
(1) ∫[1→4]|x-2|dx
xは、1から4まで変化しますが、
・xが1から2まではx-2<0 (←Aの部分です)
・xが2から4まではx-2≧0 (←Bの部分です)
ですね。ということは、
・xが1から2までは|x-2|=-(x-2)
・xが2から4までは|x-2|=x-2
ということなので、
∫[1→4]|x-2|dx
=∫[1→2]|x-2|dx + ∫[2→4]|x-2|dx (←A+Bに分割した)
=∫[1→2]-(x-2)dx + ∫[2→4](x-2)dx
です。
(2),(3)も同様にできます。
No.3
- 回答日時:
積分は、つまると結構ややこしくなりますよね…。
考え方として……
※一般的な積分式
α
∫ F(x)dx……(1)【但し、F(x)=f(x)-g(x)】
β
Step1
『(1)式の意味するところ = グラフ上のf(x)とg(x)の間にできた面 積を”α~β ”の間で集めてくること』という基本定義に、たち帰る。
Step2
その上で、今回はF(x)が絶対値で表現されていることに注意しつつ、グラフを書
いてみる。
Step3
例えば、問いの(1)であれば、x=2で折れ曲がるV字型の曲線グラフになりま
す。
ここで、『|x-2|』は、グラフ上では、「f(x)=-x+2…(2)」と、
「f(x)=x-2…(3)」の2式で構成されるものであることが、判明しまし
た。(但し(2)式はx<2の時、(3)式はx≧2の時)
この時、g(x)に相当するのは見えませんが、『g(x)=0』ということに気
が付くのも1つのツボかもしれません。
続いて、Step1で確認したとおり、『グラフ上のf(x)とg(x)の間にできた
面積を”α~β ”の間で集めてくること』を考えましょう。
これは、f(x)が2式存在するからには、2つ必要ということになります。
=f(x)が(2)式の場合=
α=2 β=0 だから、面積は三角形。S=2×2×0.5=2
=f(x)が(3)式の場合=
α=4 β=2 だから、面積は三角形。S=2×2×0.5=2
4
∴ F(x)ではS=2+2=4 ⇒ ∫ |x-2|dx = 4
0
以下の問いも、この考え方でできると思いますよ!!
説明うまくできてたかなぁ?
分かりにくかったら、言ってください…(汗)。
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