

(問題)
Gを群,HをGの部分群とする.また,[G,G]をGの交換子群とするとき,
[G,G]⊂H⇔H\GかつG/Hがアーベル群
となることを示せ.
ここで,H\GはHがGの正規部分群であることを表し(記号が環境依存文字だったので\で代用させていただきました),G/HはHによる商群とする.
(質問)
この証明なのですが,H\Gは証明できました,しかし,G/Hがアーベル群であることが示せません.
手持ちの参考書には,任意のGの元a,bに対して,
{a^(-1)b^(-1)ab}H=H・・・(1)
であるから,
(aH)(bH)=abH=ba{a^(-1)b^(-1)ab}H=baH=(bH)(aH)
よって,G/Hはアーベル群である.
とあるのですが,(1)が示せません.
(1)が示せれば後は簡単なのですが,ここが理解できないので困っています.
a^(-1)およびb^(-1)はそれぞれa,bの逆元です.
どなたか群論に詳しい方よろしくお願いします.
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