sin(1/n)

Question

参考書に、nが大きいときsin(1/n)=1/nであるという記述があったのですが、
本当にこれでいいのでしょうか。確かに図でも描いてみれば、nが大きいと孤の長さ1/nはy座標の値に近いとは思いますが…。
また、そのようにうんと大きいnを考えるなら、sin(1/n)^1/2とかsin(1/n)^2なども結局1/nということになるのでしょうか。
できる限り分かりやすく教えてください。お願いします。

38endoh · Accepted Answer

sin x は，級数として表示することもできます。これをマクローリン級数といいます。具体的に sin x は，

　sin x = x - x^3/3! + x^5/5! …

と書く事ができ，x が非常に小さい時は，x 累乗の項はほとんどゼロになるため，右辺は第一項だけを見て，

　sin x ≒ x

が成り立つと考えます。

参考URL：http://shakosv.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math18.html

komomomo · Answer

＃３の者です。

問題の後半部分ですが、sin(1/n)は連続しているので、極限の考え方をここで使います。

lim(n->infinity)sin(1/n)=1/n
より
lim(n->infinity)sin(1/n)^1/2
は
(lim(n->infinity)sin(1/n))^1/2
これは
(1/n)^1/2 ということになります。

同様にsin(1/n)^2も(1/n)^2ということになります。
こういうやり方もあるんだという参考程度にして下さい。

mmky · Answer

皆さんの回答も出ていますので、考え方の参考程度に
サイン関数の級数展開表示を利用すれば解りますかね。
1/n=x と置けば　n→∞、x→0
sin(1/n)=sin(x)
sin(x)=x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! +…
=x{1-x^2/3! + x^4/5!-x^6/7!+・・・｝
x が0の近傍では、
sin(x)≒(x)

sin(1/n)^1/2=sin(x)＾1/2
sin(x)＾1/2=(x)＾(1/2)-(x)＾(3/2)/3!+(x)＾(5/2)/5!-・・・・・
=(x)＾1/2{1 - x/3! + x^2/5!-x^3/7!+・・・｝
x が0の近傍では、
sin(x)＾2≒(x)＾1/2 

sin(1/n)^2=sin(x)＾2
sin(x)＾2=(x)＾2 - x^6/3! + x^10/5! …
=(x)＾2{1- x^4/3! + x^8/5!-x^12/7! +…
x が0の近傍では、
sin(x)＾2≒(x)＾2

つまり,(1/n)がゼロの近傍で、
sin(1/n)≒(1/n), sin(1/n)^1/2≒(1/n)^1/2, sin(1/n)^2≒(1/n)^2
というようになりますね。誤差の程度はそれぞれ違いますね。
つまり,Xが0の近傍で連続な関数であれば、
sin{X}と見立てて、{X}=0 の近傍でsin{X}≒{X} ということですね。
ということで＃2のwolvさんの回答と同じになりますね。
参考程度に

Mell-Lily · Answer

θが十分小さいならば、
　sinθ≒θ
です。これは、つまり、
　lim[θ→0]sinθ/θ=1
ということです。一方、
　lim[θ→0]sin^2θ/θ=0
ですから、θが小さくなるに従い、sin^2θは格段に小さくなります。θが十分小さいときでも、
　sin^2θ≒θ
とすることは正しくありません。

これらは、物理などで応用される近似の考え方ですが、微積分や極限という分野をよく学習すれば、分かるようになります。

Largo_sp · Answer

最終的に使う値がどれくらいの精度が必要かによって、
(sinx)^2=(sinx)^(1/2)=sinx=x
としてよいかが決まってきます。

実際に値をいれてみるとわかりますが、x=0.1くらいで、sin0.1=0.998
となるので、ほぼ成立しています。二乗と√なので、x=0.01として、
sinx=0.00999=0.01
(sinx)^2=0.0000999=0.0001
√(sinx)=0.0999=0.1
です...この差を大きいと見るか、小さく無視しても良い差と考えるかは
そのときの状況です。0.01と0.0001の差は0.00999しかないのですから...
割合を考えると大きく見えますが、球全体のこれだけと考えた場合、
どちらでも変わらないと考えても問題は無いでしょう...

komomomo · Answer

アドバイスです。

(lim(t->0)sin(t))/t = 1

という公式があります。これの証明は高校の教科書に証明が載っているはずですが、図を用いるのでここでは説明は難しいです。

そしてこの公式を前提とすると、マクローリン級数を使わなくても証明が出来ます。

まず t を 1/n と置きます。t が 0 に限りなく近づくということは、n が限りなく大きくなって行くということです。つまり公式は次のように変形できます。

(lim(n->infinity)sin(1/n))/(1/n) = 1
両辺に 1/n を掛けて、
(lim(n->infinity))sin(1/n) = 1/n

これが求める等式になります。

wolv · Answer

> sin(1/n)^1/2とかsin(1/n)^2

{sin(1/n)}^(1/2) は、{1/n}^(1/2)
sin{(1/n)^(1/2)} は、{1/n}^(1/2)
{sin(1/n)}^2 は、{1/n}^2
sin{(1/n)^2} は、{1/n}^2
とほぼ同じになります。数学的に書くと、

lim [{sin(1/n)}^(1/2)]/[{1/n}^(1/2)] = 1
n→∞

などのようになります。

sin(1/n)

sin x は，級数として表示することもできます。

＃３の者です。

皆さんの回答も出ていますので、考え方の参考程度に

θが十分小さいならば、

最終的に使う値がどれくらいの精度が必要かによって、

アドバイスです。

> sin(1/n)^1/2とかsin(1/n)^2

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