A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
又、やってしまった。
どうも、掲示板の書き込みは苦手です。ごめんなさい。
>√{(1-cosB)^2+(sinB)^2}sin(B+α)+cosB≦√{(1-cosB)^2+(sinB)^2}=cosB+2*sin(B/2)と変形します。
↓
√{(1-cosB)^2+(sinB)^2}sin(A+α)+cosB≦√{(1-cosB)^2+(sinB)^2}+cosB=cosB+2*sin(B/2)と変形します。
この回答への補足
返事遅れてごめんなさい。ありがとうございます。とてもよく分かりましたが、問題はとりうる値の範囲です。最小値がない事は直感的にわかるのですが、不等式でとりうる値は表せますよね? a<P<=3/2 となるaの値をどうやって求めるのか教えていただきたいのですが…面倒なこと言ってすみません(苦笑)
補足日時:2006/06/12 18:29No.4
- 回答日時:
>先生は一方は固定して一方だけ動かすとか言っておりましたが、前にもそんな問題があって
先生は「2変数の問題」と言ってるんだと思います。
私の先の解答も本質的に同じなのですが、先生の期待している方法(?)で解いてみます。
AとBの2つの変数があって、まずBを定数と見て、Aを動かしてBの式を求めます。
次に、今度はBを動かして最大値を求めます。
P=cosA+cosB+cosC=cosA+cosB-cos(A+B)=(1-cosB)cosA+sinB*sinA+cosB=√{(1-cosB)^2+(sinB)^2}sin(B+α)+cosB≦√{(1-cosB)^2+(sinB)^2}=cosB+2*sin(B/2)と変形します。
後は、前の解法と同じです。
#質問された方は高校生と思います。
ラグランジュの未定乗数法なんか高校で習うとは思えません。
No.3
- 回答日時:
このような問題にこそ、ラグランジュの未定乗数法が適しています。
束縛条件をA+B+C-π=0として、cosA+cosB+cosCの極値を求めればよいのです。計算すると、No1,No2さんと同じ結果が導かれます。No.2
- 回答日時:
相変わらず、書き込みのミスがあります。
ごめんなさい。
>(2)において、cosA+2*sin(A/2)≦-2{sin(A/2)-1/2}^2+3/2≦3/2.
cosA+2*sin(A/2)≦ → cosA+2*sin(A/2)=
それと、最大値は存在しますが、最小値はありません。
何故か?
No.1
- 回答日時:
P=cosA+cosB+cosC‥‥(1)
cosB+cosC=2*cos(B+C)/2*cos(B-C)/2≦2*cos(B+C)/2=2*sin(A/2)
従って、P≦cosA+2*sin(A/2)‥‥(2).但し、等号成立は、B=Cの時。
(2)において、cosA+2*sin(A/2)≦-2{sin(A/2)-1/2}^2+3/2≦3/2.等号成立は、A=π/3.
つまり、三角形が正三角形の時。
>類題まで用意して頂けるという熱い方がいれば、感謝のあまりパソコンの前で大泣きます。
こんな問題なら、いくらでも作れますよ。
(1)三角形ABCにおいて、cosAc*osB*cosCのの最大値を定めよ。
(2)三角形ABCにおいて、sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)の最大値を定めよ。
未だ難しいものも作れますけれど。。。。。。。
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