No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まず、与えられた解であるyをy',y''と計算して問題の式に代入してみればa,bは求められると思います。
その後、a,bの値を代入してy''+2ay'+y=0。2階線形微分方程式になっているので特性方程式λ^2+2λ+1=0の解はλ=-1で重解。このとき一般解はy=c1e^(-x)+{c3e^(-x)}'
=c1e^(-x)-xc3e^(-x)
=c1e^(-x)+c2xe^(-x) (c2=-c3)
=(c1+c2x)e^-x (c1,c2は任意定数)
かなと思います。
No.3
- 回答日時:
ご自分ではどこまでやったのでしょうか?
y=(4-2x)e^(-x)が解だと分かっているなら、方程式の左辺に代入してみましょう。
因みにこの問題に限れば、与えられた解の形(e^(-x)とxe^(-x)の線形結合)と方程式が定係数ニ階斉次線形常微分方程式であることから「基本解がe^(-x)とxe^(-x)で(つまり、一般解がy=(c1+c2x)e^(-x)で)、従って特性方程式が(λ+1)^2=0となるからa=2、b=1」とすぐに分かります。
No.2
- 回答日時:
aとbを求めるところを・・。
y=(4-2x)e^(-x) なのでまずこれを2回微分します。
積の微分法を用いて
y'=-(4-2*x)*e^(-x)-2*e^(-x)
=2*(x-3)*e^(-x)
y''=-2*(x-4)*e^(-x)
これを元の微分方程式に代入します
y''+ay'+by=0
-2*(x-4)*e^(-x) + a{2*(x-3)*e^(-x)} + b{(4-2x)e^(-x)} = 0
e^(-x)は全部の項に掛かっていて、右辺が0なので消します
-2*(x-4) + 2a*(x-3) + b(4-2x) = 0
展開すると
2ax-6a-2bx-2x+4b+8 = 0
xについてまとめると
x(2a-2b-2)-6a+4b+8 = 0x + 0
右辺を少し書き換えましたが、同じことです。
左辺と右辺を比較すると、次の連立方程式が得られます。
2a-2b-2 = 0
-6a+4b+8 = 0
これを解けばa=2,b=1が得られます。
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