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★kを定数とするときxの方程式(k^2-1)x^2+2(k-1)x+2=0の解の種類を判別せよ。
(答)-3<k<-1,-1<k<1のとき異なる2つの実数解
  k=-1のとき1つの実数解
  k=-3のとき重解
  k=1のとき解はない
  k<-3,1<kのとき異なる2つの虚数解

私はk=-3,1のとき重解 -3<k<1のとき異なる2つの実数解 k<-3,1<kのとき異なる2つの虚数解 と出たのですが…
説明お願いします。

A 回答 (3件)

*********************************************


(答)-3<k<-1,-1<k<1のとき異なる2つの実数解
*********************************************

(k^2-1)x^2+2(k-1)x+2=0・・・・・・・(1)
の判別式は
D=(k-1)^2-2(k^2-1)
=(-k-1)(k-1)>0
より
1>k>-3であるがx=-1は除く。(2時間数でなくなるので。)
故に
-3<k<-1、-1<k<1のとき異なる2実根を持つ。

***********************
(答)k=-1のとき1つの実数解
***********************

k=-1のとき(1)式は
-4x+2=0となり1つの実数解。

**************
(答)k=-3のとき重解
**************
K=-3のとき(1)式は
8x^2-8x+2=0となり
x=1/2の重解。


***************
(答) k=1のとき解はない
***************

k=1のとき(1)式は
+2=0となり解はない。


*********************
(答)k<-3,1<kのとき異なる2つの虚数解
********************
k<-3、1<kのとき
D=(k-1)^2-2(k^2-1)
=(-k-1)(k-1)<0
となるので異なる2つの虚数解
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(k^2-1)x^2+2(k-1)x+2=0 → (k+1)*(k-1)*x^2+2(k-1)x+2=0。



x^2の係数に、先ず、注意する。同時に、k-1が1次と2次の係数に共通している事も注意する。

(1)k+1=0の時、x=1/2 であるから 実数解は1個。
(2)k-1=0の時、2=0となるから、解はない。

ここで、初めて、方程式が2次である事に進める。
(k+1)*(k-1)≠0の時、判別式=-(k-1)*(k+3)より
(3) -(k-1)*(k+3)>0の時、k+1≠0という条件を加えて 異なる2つの実数解
(4) -(k-1)*(k+3)=0 →(k-1)≠0より、k+3=0の時 重解。
(5) -(k-1)*(k+3)<0の時 異なる2つの虚数解。
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判別式を使うには、この方程式が2次方程式であることが前提となります。


この問題の場合、2次の係数がk^2-1であり、これが0の時は与えられたものが2次方程式でなくなってしまいます。
ですからk^2-1=0の場合とk^2-1≠0の場合を分けて考える必要があります。
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Q数II、解と係数の問題

(1)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の一つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。
(2)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の2つの解がともに1より小さい

(1)このとき、解と係数の関係を使って進めていくときに
解をα、βとするとなぜαβ>0という条件のみでいいんでしょうか
D>0なのか、D<0のどちらですか。。そしてなぜそうなんでしょうか。


(2)解説には、2つの解が負のときと同じように条件をたてていますが、
1より小さい。だけじゃ、正か負かまだわからないきがするんですが・・。分数とかの場合は
かんがえないんでしょうか。
D>0なのはわかりますが、なぜα+β<0 αβ>0?

Aベストアンサー

(1)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の一つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。
(2)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の2つの解がともに1より小さい

>(1)このとき、解と係数の関係を使って進めていくときに
>解をα、βとするとなぜαβ>0という条件のみでいいんでしょうか
>D>0なのか、D<0のどちらですか。。そしてなぜそうなんでしょうか。
(α-1)(β-1)<0です。D>0ですが、(α-1)(β-1)<0から条件を出すだけで、
D>0の場合の条件も求めてしまうことになります。(実際に解いてみれば分かります。)

>(2)解説には、2つの解が負のときと同じように条件をたてていますが、
>1より小さい。だけじゃ、正か負かまだわからないきがするんですが・・。分数とかの場合は
>かんがえないんでしょうか。
α<0,β<0なのではなくて、α-1<0,β-1<0です。
αとβが何であっても、とりあえずこの条件をみたすと言うことです。
>D>0なのはわかりますが、なぜα+β<0 αβ>0?
α-1<0,β-1<0なので
(α-1)+(β-1)<0から、α+β<2,(α-1)(β-1)>0 です。
D>0からの条件も求めておく必要があります。

どうでしょうか?

(1)二次方程式x^2+2mx+2m^2-5=0の一つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。
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>(1)このとき、解と係数の関係を使って進めていくときに
>解をα、βとするとなぜαβ>0という条件のみでいいんでしょうか
>D>0なのか、D<0のどちらですか。。そしてなぜそうなんでしょうか。
(α-1)(β-1)<0です。D>0ですが、(α-1)(β-1)<0から条件を出すだけで、
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k = -3のとき、重解
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↓ こんなところを参考に。
http://manapedia.jp/text/2523

判別式は、
  D = b² - 4ac
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  D ≧ 0
虚数解のみを持つ条件は
  D < 0   (A)
となります。

与えられた方程式では、a=1, b=-3, c=2k ですから
  D = (-3)² - 4 * (2k) = 9 - 8k

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Qx²-(k-1)x-k²=0と x²-2kx+k=0 がただ一つの共通解を持つ時 Kの値は小さい順に

x²-(k-1)x-k²=0と
x²-2kx+k=0 がただ一つの共通解を持つ時
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K=(イ)のとき共通解は(オ)

という問題の(ア)と(イ)を教えてください!

Aベストアンサー

x^2 - (k - 1)x - k^2 = 0   ①
の解を a, b

x^2 - 2kx + k = 0    ②
の解を a, c

で、「共通解はただ一つ」なので b≠c としましょう。(a が共通解です)

①は
 (x - a)(x - b) = 0
と書けますから
 (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab
より
 a + b = k - 1  ③
 ab = - k^2   ④
です。

同様に②は
 (x - a)(x - c) = 0
と書けますから
 (x - a)(x - c) = x^2 - (a + c)x + ac
より
 a + c = 2k  ⑤
 ac = k    ⑥
です。

これを解けば
③ - ④より
 b - c = -k - 1
→ c = b + k + 1   ⑦
⑥に代入して
 ab + ak + a = k
→ ab = -a + (1 - a)k
よって、④に代入して
 -a + (1 - a)k = -k^2
→ a(k + 1) = k(k + 1)

ここで k=-1 とすると⑦より c=b となって前提条件を満たさない。
従って k≠-1 であり
 a = k
③より
 b = -1
⑦より
 c = k

一方、④より
 -k = - k^2
→ k(k - 1) = 0
よって
 k = 0, 1

k=0 のとき
 a=0, b=-1, c=0 ←共通解は「0」
k=1 のとき
 a=1, b=-1, c=1 ←共通解は「1」

x^2 - (k - 1)x - k^2 = 0   ①
の解を a, b

x^2 - 2kx + k = 0    ②
の解を a, c

で、「共通解はただ一つ」なので b≠c としましょう。(a が共通解です)

①は
 (x - a)(x - b) = 0
と書けますから
 (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab
より
 a + b = k - 1  ③
 ab = - k^2   ④
です。

同様に②は
 (x - a)(x - c) = 0
と書けますから
 (x - a)(x - c) = x^2 - (a + c)x + ac
より
 a + c = 2k  ⑤
 ac = k    ⑥
です。

これを解けば
③ - ④より
 b - c = -k - 1
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