三角形の角度

三角形ABCで、角B、角Cの二等分線を引いたところ、
添付ファイルの図になりました。
角xの大きさは何度ですか。
小学校５年生の塾の宿題ですが、解き方を忘れました。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： mm47 回答日時： 2009/07/24 22:48

小学5年生ということで説明します。

角Cの二等分線と辺ABとの交点をE、角Bの二等分線と辺ACとの交点をFとします。また、二つの二等分線の交点をDとします。

三角形EBDと三角形FDCを比べます。角EDBと角FDCは同じ大きさです( 対頂角といいます )。このことから白い丸○は、黒い丸●より10°だけ大きいことがわかります。( 角BFC=80°です )

まず黒い丸1つ分●を求めましょう。
三角形EBCで、○○＋●＋70°=180°ですから　(●＋10°)＋(●＋10°)＋●＋70°=180°です。
このことから(途中の計算は略します)●●●=90°です。
ということで●=30°です。
これにより ○=●＋10°なので、○=40°です。

三角形ABCで　40°×2(白い丸2つ)＋30°×2(黒い丸2つ)＋x=180°ですから
xは40°となります。

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No.2 回答者： char2nd 回答日時： 2009/07/24 22:18

・三角形の内角の総和は180°である。

・多角形の外角の総和は360°である。

　この２つのことが判っていれば解ける問題です。

　∠ＡＢＣ＝α
　∠ＡＣＢ＝β

とし、∠ＡＣＢの２等分線と辺ＡＢの交点をＥ、∠ＡＢＣの２等分線と辺ＡＣの交点をＤ、２つの角の２等分線の交点をＦとすると、

・△ＡＢＣについて
　ｘ＋α＋β＝180°・・・・(1)

・四角形ＡＥＦＤについて
　∠Ａの外角＝180－ｘ
　∠Ｅの外角＝70°
　∠Ｆの外角＝（α＋β）/2　：△ＦＢＣについて　α/2＋β/2＋∠ＢＦＣ＝180°より
　∠Ｄの外角＝80°　：180°－100°＝80°

∴（180°－ｘ）＋70°＋（α＋β）/2＋80°＝360°・・・(2)

　(1)の式を整理すると、

　α＋β＝180°－ｘ・・・・(3)

　(2)の式を整理すると、

　ｘ－(α＋β)/2＋30＝0°・・・・(4)

　(3)のα＋βを(4)の式に代入すると、

　ｘ－(180°－ｘ)＋30°＝0°

　これをｘについて解くと、

　ｘ＝40°

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No.1 回答者： haragyatei 回答日時： 2009/07/24 22:14

○をｙ、●をｚとすると三角形の内角の和などから

ｘ＋ｙ＋１００＝１８０
ｘ＋ｚ＋１１０＝１８０
ｚ＋２ｙ＝１１０

の式がたつので答えはｘ＝４０である。ちなみにｙ＝４０、ｚ＝３０である。

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