デカルト座標系と極座標系の基底の変換について

デカルト座標系の基底をEx,Eyとして極座標系の基底をErとEθとすると、
Er= cosθEx+sinθEy
Eθ= -sinθEx+cosθEy
となりますが、これはーθの回転行列をあらわす式と同じです。
何か関係があるのでしょうか？

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/07/25 13:04

形式的には、

(Er,Eθ)をデカルト座標系とみなすと、このみなしデカルト座標系ではEr,Eθが直交座標系の基底になります。Er方向はEx方向から反時計方向にθ回転した方向なので、このみなし座標系の両座標軸を「-θ」回転、つまり時計方向に「θ」回転すると、デカルト座標系の両座標軸に一致する

という関係にあります。

この回答への補足

デカルト座標系をθ回転すると極座標になるのはイメージで理解できるのですが、そうすると式のsinθの符号が逆になると思います。どうも上の式だと、デカルト座標系をーθ回転する式になっているんです。
このあたりがどうもスッキリしません・・・。

補足日時：2009/07/25 14:22

No.2 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/07/25 16:54

質問者さんの式とかNo.1さんの補足を見る限り、

"基底"の変換と、"座標"の変換がごちゃまぜになっちゃっていませんか？

基底は確かにθ回転しています。

ですが、それぞれの基底から見た座標（座標というか、線形空間の列ベクトル表現ですね）は逆変換に相当する-θだけ回転してますよ。

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/07/25 16:57

鉛筆を一本立て、その前にカメラを置きます。

背景は無地にしましょう。

1. 鉛筆を45度傾けて写真を撮ります。
2. 鉛筆を元に戻し、カメラを逆向きに45度傾けて写真に取ります。

出来上がった写真は同じでしょうか違うでしょうか？

1がベクトルの回転、2が座標系の回転です。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/07/26 01:51

#1です。

A#1の補足について
>デカルト座標系をθ回転すると極座標になるのはイメージで理解できるのですが、
これは下の●の座標系の回転で、観察者は両座標系の外から観察していることになるかと思います。

>そうすると式のsinθの符号が逆になると思います。どうも上の式だと、デカルト座標系をーθ回転する式になっているんです。
これは下の■の基底を「－θ」回転することでEr方向をEx方向に、EθをEyに重ねる基底変換をすることです。観察者はそれぞれの座標系の上に乗って観察していることになります。

●座標系（座標軸）の回転としてみた場合反時計方向にθ回転することになりますが。
■基底の回転としてみた場合は時計回りにθ（反時計回りには「-θ」）になりますね。
基底の変換ではそれぞれの座標系をExとErを横軸にしますので、ErをExに重ねる操作をすることになりますので座標軸の回転と逆の回転をさせることになるので時計回りに「θ」(反時計回りに「－θ」)回転することにな
るのです。

要するに、●の座標系の回転行列のθを「－θ」でおきえると基底の変換行列になるということです。

#2さん,#3さんの言われていることも同じことを言われています。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/07/26 12:29

「基底の変換か、座標の変換かだ」と答えられています。

でもまだ少し違うと思います。

私もまだよく分かっていないところがありますが書いてみます。

ベクトルＡ（↑Ａと書きます）を考えます。
ｘ、ｙ座標での成分を（Ａｘ，Ａｙ）とします。Ａｘ，Ａｙはスカラーです。
（１）このベクトルＡを角度θ　回転させます。ベクトルＡ’になります。ｘ、ｙ座標での成分は（Ａ'ｘ，Ａ'ｙ）です。
　Ａ'ｘ＝Ａｘｃｏｓθ－Ａｙｓｉｎθ
　Ａ'ｙ＝Ａｘｓｉｎθ＋Ａｙｃｏｓθ　　　　（式１）

（２）ｘ、ｙ座標からｒ、θ座標に基底を変換します。
　　↑Ｅｒ＝ｃｏｓθ↑Ｅｘ＋ｓｉｎθ↑Ｅｙ
　　↑Ｅθ＝－ｓｉｎθ↑Ｅｘ＋ｃｏｓθ↑Ｅｙ　　（式２）

　この基底でベクトルＡを表した成分を（Ａｒ、Ａθ）とします。
　　Ａｒ＝Ａｘｃｏｓθ＋Ａｙｓｉｎθ
　　Ａθ＝－Ａｘｓｉｎθ＋Ａｙｃｏｓθ　　　(式３）

　基底をθ回転させるということはベクトルＡを－θ回転させることと同じだという内容は（式３）を(式１）と照らし合わせた結果です。＃３で鉛筆を回転させるか、カメラを逆に回転させるかと説明されているものです。
これは質問者様もご承知の内容だろうと思います。

ご質問はこの関係ではなくて（式２）の表現についてです。
(式２）に出てくる係数が（式３）で出てくるものと同じになっていることについての質問ではないでしょうか。
θ回転しているはずなのになぜ－θ回転した場合と同じ係数が出てくるのかです。

これについてはまだはっきりとした回答は出ていないように感じます。
もしかしたらもう回答がされているのかもしれませんが　(式１）（式３）の関係の説明とはっきりと分離されていませんので分かったような気になれないのです。

ひとついえることは（式２）はベクトルの関係です。（式１）は成分についての関係ですからスカラーの関係です。一見同じように見えますが違いがあります。

わかりやすい説明がいただけると私もありがたいです。

No.6 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/07/26 16:24

↑Ｅ_j = Σi[B_ji ↑Ｅ_i']

と基底が変換されるものとします。
↑Ｅ_jが元の座標系の基底、↑Ｅ_i'が新しい座標系の基底です。
以下、'がついているほうを新しい座標系に関する量とします。

あるベクトル↑Xは二つの座標系の基底と成分を使って

↑X = Σj[X_j ↑E_j] = Σi[X_i' ↑E_i']

となるはずです。ここに最初の関係を使うと

Σj[X_j ↑E_j]　=　Σj[X_j (Σi[B_ji ↑Ｅ_i'])]
　　　　　　　　=　Σi[(Σj[B_ji X_j])↑Ｅ_i'])]

なので、上と見比べれば

X_i' = Σj[B_ji X_j]

Xを縦ベクトルとして通常の形にするにはB_jiを要素とする行列[B]の転置行列[A]のij要素A_ijを使えばよく、

X_i' = Σj[A_ij X_j]　　　(A_ij=Bji)

と書けます。また、最初の式とは逆に新しい基底をもとの基底で書くと係数をC_ijとして

↑Ｅ_i' = Σj[C_ij ↑Ｅ_j]

となります。
ここで、C_ijを要素とする行列[C]は行列[B]の逆行列です。

ということで、

X_i' = Σj[A_ij X_j]
↑Ｅ_i' = Σj[C_ij ↑Ｅ_j]

という関係式の係数行列[A]と[C]は互いに転置行列の逆行列という関係にあります。

2次元回転の場合の変換行列はθ回転に対して－θ回転が逆行列であり、
転置行列も逆行列になるので、[A]=[C]になります。
(回転に限らず、直交座標系なら一般になりたつ。)

ということで、座標系の回転では、基底の変換と座標系の回転による成分の変換を記述する式の係数行列は同じものになります。

ベクトルのθ回転では相互関係が座標系の－θ回転と同じなので、－θ回転のときの変換行列[A(－θ)]を使うことになります。

これは物理的な意味がどうのというより数学的な構造です。