球と正十二面体と正二十面体と

半径１の球に内接する、正十二面体と正二十面体の体積はいくらでしょうか。

どのように考えたらいいのでしょう。
確か、正十二面体のほうが球の体積に近いと思うのですが。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/05 14:53

>正十二面体と正二十面体の体積はいくらでしょうか。

計算は複雑で難しい計算を「なが～く」やらないといけないので結果だけ書くと
V12=(2/9)(5√3+√15)≒2.785...
V20=(1/3)(√10+√2)√(5-√5)≒2.536...

>正十二面体のほうが球の体積に近いと思うのですが。
その通り。
球の体積Vは　V=(4/3)π=4.189...
なので
V12はVの66.49％
V20はVの60.55％
ですね。

以下の参考URLの中に書かれている数値と一致しますので多分計算も合っているでしょう。

参考URL：http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/kouj …

No.2 回答者： zarbon 回答日時： 2009/08/05 22:20

考え方としては、

1辺が1の正12面体と正20面体の体積を求め、それに外接する球の半径を求め、
相似の関係を利用して、体積を求めるのが良いと思います。