円筒コンデンサ（電磁気学）

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質問者：ace0904
質問日時：2009/08/05 15:02
回答数：1件

分からない問題が出てきたのでまた質問させていただきます。

半径a、bで長さLの同軸円筒コンデンサにおいて内円筒に＋Q、外円筒に－Qを与えた場合について（外円筒は接地）
１、電界を求め、両円筒間の電位差Vを求めよ。
２、Qが一定の時外円筒の半径をb～cに変化させる場合になされる仕事を計算せよ
３、電位φが一定の時b～cに変化させる場合になされる仕事を計算せよ

１、半径rの円柱をとってガウスの法則を適用
a<r<bの時Q(r)＝Q
よってE(r)＝Q/(2πεrL)
ここから積分によってVを求めたいのですが”外円筒を接地（→φ(b)＝０）”という条件をどう用いればいいかが分かりません。

２、３に関してはまずコンデンサの静電容量Cを求めて静電エネルギーの変化に着目すると思うのですがどうやればいいのかがよく分かりません。

よろしくおねがいします。

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回答 (1件)

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回答者： sinisorsa
回答日時：2009/08/05 15:45

(1)aは内円筒の外半径？ｂは外円筒の内半径？

(2)長さLが有限のため、正確に求めるのは大変ですね。
半径a,bに比べて、Lは十分に長いと仮定してよい問題ですか。
よければ、あなたのやり方でOKです。
(3)接地とは、電位の基準点とするということです。
　ようするに外円筒の電位を０とするだけです。
　-dV/dr=E　から　V＝-∫(a～r)Edr＋Const
　定数ConstをVb＝０となるように定めればよい。
(4)静電容量は、与えた電荷をQ、電極間の電位差をVとして、
　　C＝Q/Vで求めます。
(5)変化させる前のコンデンサの蓄積されるエネルギーは
　求められますね。
　

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（１）内球と外球の電荷
　　外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
　　すると、外側の球の裏面（内面）には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

（２）Q' を求める
　　外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
　　-Q'（内側の球の表面電荷） + Q'（外側の球の裏面電荷） + Q - Q'（外側の球の表面電荷） = Q - Q'
　　半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε　→ E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
　　半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r～∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
　　外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

　　内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
　　半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε　→ E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
　　半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r～b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
　　式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
　　内側の球は接地されているので、V2(a) = 0 　→　 ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
　　したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

（３）電界分布
　　式[3]を式[1],[2] に代入すれば
　　E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
　　E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

（４）まとめ
　　a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
　　c<r　　のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

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もし、よろしければ、どなたかアドバイスいただけませんか？
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

＞静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
＞導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1／2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。（導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分）
この物理的意味...続きを読む

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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html

ここの問題の条件で、内外球の静電容量を求めよという問題があります。今やっている問題とほぼ一致した条件なので引用させてもらいました。

僕自身、接地するということがいまいちどういうことなのか理解できていない感じなのですが、
引用した質問の電界の答えから、内外球の電位差を求めてC=Q/Vという定義から静電容量を求めたところ、答えと一致しました。

そこで疑問がわいたのですが、C=Q/Vの定義が使えるのは外球と内球にそれぞれ-Q、+Qの電荷を与えているときと教科書に書いてありました。

この問題だと、外球にQの電荷を与えているだけで、内球には-Q'の電荷が誘起されています。
なぜC=Q/Vの定義から答えが算出できたのでしょうか？

電磁気学の理解に乏しいので詳しく教えていただきたいです。

Aベストアンサー

「与えた」に余りこだわりすぎると
「孤立した半径 a の導体球の容量を求めよ」というような問題
(たいていのテキストに出ている)の解釈がうまく行かなくなります．

わかりやすい平行平板コンデンサーでいいますと，
「２つの極板にそれぞれ +Q，-Q の電荷を与えた」というのは，
もともと電荷がなかった状態を出発点にして電荷を Q だけ一方の極板からもう一方の極板に
移したと考えればよいでしょう．
そうすれば，一方の極板には +Q の電荷が，もう一方の極板には -Q の電荷が，
それぞれ存在することになります．

上の孤立球の問題も，無限遠から孤立球に電荷 Q を移したと考えればよろしい．
そうすると，孤立球に +Q の電荷があるわけで，無限遠との電位差 Q/4πε_0 a から
Q = CV にしたがって C = 4πε_0 a と容量が求まります．

さて，今の問題で内球を接地したというのは内球と無限遠を導線でつないだ，
つまり内球と無限遠との電位差を同じにしたことを意味します．
で，上の解釈に従えば，内球と無限遠から外球(正確には外球殻)へ電荷 Q を移すことになります．
外球殻には内側表面に電荷に +Q' ，外側表面に +Q'' が分布します．
記号は引用された
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html
に従っています．
内球には -Q'，無限遠には -Q'' があることになりますが，
Q' と Q'' の割合は２つの電位差，すなわち外球殻と内球の電位差，および外球殻と無限遠の電位差が
等しくなるように決まります．
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電位は同じでないといけないのです．
もし，内球からのみ電荷を外球殻に移しても，
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電荷は自由に行き来できるので，
上の条件に従うように勝手に電荷が移動します．
引用された inara さんのご回答はこうやって Q' と Q'' を決めています．

図で表すなら

　　　　　　　　　　│
　　　　　　┌───┴───┐
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　│　　　　　　　│
外球殻内側─┴─　　　　　─┴─外球殻外側
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　内球─┬─　　　　　─┬─無限遠
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　└───┬───┘
　　　　　　　　　　│

と思えばよいでしょう．
実際，求めた容量は２つのコンデンサーの容量を合成したものになっていますので，
それもご確認下さい．