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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1さんの初めの方の方針に従い、まず x=r・cosθ、y=r・sinθ と変換します。
図の黄色の環は D = {(x,y):1<= x^2+y^2 <=4})。
その中の微小面積は図より明らかに、dx・dyから、r・dθ・dr に変わります。
問題文の ∫∫[D] 1/x^2+y^2 dxdy はカッコがなくて判りづらい。
元の問題では ∫∫[D] 1/(x^2+y^2) dxdy のことでしょうから、
与式=∫∫(1/r^2)r・dθ・dr=∫<0→2π>dθ・∫<1→2>(1/r)dr
=2π・∫<1→2>(1/r)dr=2π・{log2-log1}=2π・log(2/1)
=2π・log2
ただし log は自然対数。
![「重積分に関する問題です。」の回答画像2](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/6/11578265_5497ed5cc54cf/M.jpg)
No.1
- 回答日時:
通常このような場合は変数変換して解きます。
x=r*cosθ,y=r*sinθとして積分範囲をr,θの範囲に変えます。
後はヤコビアンを計算して計算を行うだけ。
もうひとつの方法としては積分範囲をわかりやすい形に変える事。
積分の範囲がドーナツ状であるなら、大きい円の部分で積分した値から小さい円の部分で積分した値を引けばよいでしょう。
つまり、D1={(x,y)|0≦x^2+y^2≦4},D2={(x,y)|0≦x^2+y^2≦1}
として
∫∫[D]{・・・}dxdy=∫∫[D1]{・・・}dxdy-∫∫[D2]{・・・}dxdy
この回答への補足
回答ありがとうございます^^
とても助かります。
大きい円から小さい円を引くのはおもいついたんですが、
その積分計算でとまってしまったんです。。。
すいません。
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