特定の条件を満たす写像の探し方

この質問ではまず，実数の部分集合A(⊂R)から実n次元数ベクトル空間の部分集合B(⊂R^n)への線形写像 f : A(⊂R) → B(⊂R^n) を考えます．但し，n≧2とします．

いま，fとgの合成写像 h = gf : A(⊂R) → C(⊂R) が線形写像となるような，非線形写像 g : B(⊂R^n) → C(⊂R) を求めたいとします．

Aとfが未知であり，Bが既知であるとき，このような非線形写像gを求める方法は，ありますでしょうか？

例）
n = 3, A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, f(a) = (2a+3, 7a-6, 5a+4) (a∈A⊂R)
の場合，
B = {(5,1,9),(7,8,14),(9,15,19),(11,22,24),(13,29,29)}
となります．ここで，非線形写像gを例えば，
g(b) = log { 1.3 * exp(3*b1/2) * exp(5*b2/7) * exp(2*b3/5) + 2.2 * exp(4*b1/2) * exp(2*b2/7) * exp(4*b3/5) }
(b=(b1,b2,b3)∈B⊂R^3)
のように定めれば，合成写像 h = gf は線形写像となります．

任意のfに対し，hを線形写像とするような非線形写像gは，無数に考えられます．しかし，Aとfが未知であり，Bのみが既知（Bが既知なので，当然ながら集合Aの大きさやnは既知となります）であるとき，1つ以上のgを求める方法は果たしてあるのか，それが質問の意図です．

（付録の質問として，もし方法がないとすれば，hが「出来るだけ強い」線形性をもつようなgを求める方法はありますでしょうか？）

よろしくお願い致します．

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/08/21 10:35

B が有限個なら, そいつらを「すべて同じ値に写す」写像はいくらでも作ることができます.

この回答へのお礼

貴重なご指摘を頂き，ありがとうございます。
確かに，Cの元が全て同じ値になるような非線形写像gはいくらでも考えられますね。その場合，合成写像hは，確かに線形写像になります。

今回は，Cの元が全て同じ値にはならないようなgを探したいと考えております。条件の説明が不完全で，申し訳ありませんでした。

お礼日時：2009/08/21 12:43

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/21 19:04

A が有限集合で、その上の線型写像ってのは、

どんなもんかと。
A に、どのような線型性を仮定しているのでしょうか。
定義域と値域に、それぞれ一次結合が定義されていなければ、
写像の線型性は定義できません。
A は R の部分集合とのことですが、
部分線型空間でないと、話が始まらない。
R の部分線型空間は、R 自身と｛0｝の二つだけです。
それとも、有限体上のベクトル空間でも考えるのでしょうか？
例を見る限り、そのような話には、見えませんが。

h の線型性が普通の実線型性であれば、
g は f の逆写像とその一次関数しかなく、
その存在条件は f の単射性です。

この回答へのお礼

貴重な回答を頂き，ありがとうございます。
「線形写像」という専門用語の使い方に問題があったようです。
いま，理解に努めております。整理できたら補足させて頂きます。

お礼日時：2009/08/28 20:41