数学IIの円の直線と軌跡の方程式でわからないところがあります

９　円ｘ＾2＋ｙ＾2＝１３の接線のうち、直線２ｘ－３ｙ－１＝０に
　　平行なものの方程式を求めよ。

３　次の条件を満たすてんＰの軌跡を求めよ。

　(3)　２点Ａ（４、－２）、Ｂ（－１，８）にたいして
　　　ＡＰ：ＢＰ＝２：３

４　次の点Ａと円について、点Ｐが円周上を動くとき、点Ａと点Ｐを結
　　ぶ線分ＡＰの中点Ｑの軌跡を求めよ。
　
　２Ａ（６、－２）、ｘ＾2＋ｙ＾2＝８

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/13 17:59

＃１です。

（２）は間違いです。済みません。

No.2 回答者： nunokkire 回答日時： 2009/09/13 17:39

(1)

平行の条件から、求める直線は 2x-3y+c=0 とおけます。(確かに傾きは同じ2/3ですね)
この直線が円に接するためには、
　　円の中心と直線との距離＝円の半径
という関係が成り立たなければいけません。
左辺は、いわゆる"点と直線の距離"の公式から導きます。
これを整理すると、cの値が求められます。

(2)
P(x,y) とおいて、APとBPをそれぞれx,yで表しましょう。
たとえばAPなら、(x-4)^2 + (y+2)^2 をルートしたものになりますね。
それをAP:BP=2:3 にあてはめて、比の式を方程式に変換すれば、
あとはそれを解くのみです。
ちなみにこれは"アポロニウスの円"と呼ばれるものです。

(3)
gohtrawさんの解説にある通りの流れで解けます。px,pyをqx,qyで表した後、その式を代入すればよいです。

この回答へのお礼

解説ありがとうございました.+(´＾ω＾`)+.
助かりました*゜(○'v`pq)゜*

お礼日時：2009/09/13 21:01

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/09/13 17:13

（１）２ｘ－３ｙ－１＝０からｙ＝（２／３）ｘ－１／３なのでこの直線、および求める接線の傾きは２／３となります。

求める接線と直交する円の直径は傾きー３／２で原点を通るのでｙ＝－（３／２）ｘで表わされ、これと円の式を連立させると接点の座標が判ります。
（２）求める軌跡は直線になり、
　・ＡＢと２：３に内分する
　・ＡＢと直交する
を満たします。
（３）点Ｐ、Ｑの座標を（ｐｘ、ｐｙ）、（ｑｘ、ｑｙ）としてｑｘ、ｑｙをｐｘ、ｐｙで表わしたのちｐｘ、ｐｙについて解きます。ｐｘ、ｐｙは円ｘ＾２＋ｙ＾２＝８上の点なので、この円の式にｐｘ、ｐｙを代入するとＱの軌跡の式が得られます。